Cálculo, vol. Il - Howard Anton, pág. 874 a 876.
1-4. Determine se 
  possui parametrização lisa, isto é, se 
  é contínua 
 .
- 
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer saber se a função vetorial 
  tem uma parametrização lisa. Isso significa que precisamos verificar se a derivada 
  é contínua e nunca é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculos de derivadas e propriedades de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial 
 . A derivada de cada componente em relação a 
  é:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a derivada 
  é contínua. Observando as componentes:
- 
é um polinômio, que é contínuo para todo .  - 
também é um polinômio, logo é contínuo.  - 
é igualmente contínuo.  
Como todas as componentes são funções contínuas, a derivada 
  é contínua em todo o seu domínio.
Passo 4
Por último, vamos garantir que 
  nunca é o vetor zero. Para isso, verificamos quando cada componente seria igual a zero:
Analisando, vemos que para 
 , as componentes 
  e 
  são zero, mas a componente 
  é 
 , que não é zero. Para 
 , a componente 
  seria zero, mas as outras componentes não são simultaneamente zero. Portanto, 
  nunca é o vetor zero.
Resposta
A função 
  possui parametrização lisa, já que sua derivada 
  é contínua e nunca é o vetor zero.