(CM RJ-2003) Carlos construiu uma piscina em sua casa, deixando dois canos para enchê-la e
um ralo para esvaziá-la. Estando a piscina vazia, um dos canos, sozinho, permite que ela seja completamente cheia em 15 horas, e o outro cano, cm 10 horas, se funcionar sozinho. Por outro lado, estando a piscina cheia, o ralo permite esvaziá-la completamente em 24 horas. Quando a obra acabou, Carlos resolveu encher a piscina, que estava vazia: abriu os dois canos, mas esqueceu de fechar o ralo. Quanto ao número de horas que a piscina demorou para ficar totalmente cheia, podemos afirmar que:
A) é um número primo.
B) é um múltiplo de 4 .
C) é um divisor de 15 .
D) é um divisor de 24 e de 10 .

Passo 1

O enunciado é um problema de vazão (pipes): temos uma piscina vazia, dois canos de entrada e um ralo de saída. O cano A enche sozinho em 15 h, o cano B em 10 h, e o ralo esvazia em 24 h. Queremos saber quanto tempo leva para encher com A e B abertos e o ralo também aberto, e depois verificar qual das alternativas se aplica a esse tempo.

Passo 2

Vamos traduzir cada ação em taxa de variação de volume por hora (fração da piscina por hora):
– Cano A: \tfrac{1}{15} da piscina por hora.
– Cano B: \tfrac{1}{10} da piscina por hora.
– Ralo: -\tfrac{1}{24} da piscina por hora (negativo porque esvazia).

Passo 3

A taxa líquida é a soma das taxas de entrada menos a taxa de saída. Calculamos em bloco para clareza:
r = \frac{1}{15} + \frac{1}{10} - \frac{1}{24}
O mínimo múltiplo de 15, 10 e 24 é 120, então
r = \frac{8}{120} + \frac{12}{120} - \frac{5}{120} = \frac{15}{120} = \frac{1}{8}.

Passo 4

Como a taxa é \tfrac{1}{8} da piscina por hora, o tempo necessário para encher toda a piscina é o recíproco:
T = 8\text{ horas}.

Passo 5

Agora testamos as alternativas para T=8:
A) 8 é primo? Não.
B) 8 é múltiplo de 4? Sim (pois 8=4\times2).
C) 8 divide 15? Não.
D) 8 divide simultaneamente 24 e 10? Não (não divide 10).

Resposta

B) é um múltiplo de 4.

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