Achar a área da superfície gerada pela revolução, em tôrno de O Y, do arco da parábola y=x^{2}, cuja projeção sôbre O Y é o segmento [0,2].

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o arco da parábola y=x^2 cuja projeção sobre o eixo OY vai de y=0 até y=2. Queremos a área da superfície obtida ao girar esse arco em torno de OY. O conteúdo principal é a fórmula de área de superfície por revolução:
S = 2\pi \int x\,ds.

Passo 2

Como giramos em torno de OY, é conveniente usar y como parâmetro. Da parábola y=x^2 com y\in[0,2], temos
x = \sqrt{y}, \quad \frac{dx}{dy} = \frac{1}{2\sqrt{y}}.

Passo 3

Calculamos o elemento de arco ds. Pela definição,
ds = \sqrt{1 + \Bigl(\frac{dx}{dy}\Bigr)^2}\,dy = \sqrt{1 + \frac{1}{4y}}\,dy = \frac{\sqrt{4y+1}}{2\sqrt{y}}\,dy.

Passo 4

Substituindo em S=2\pi\int x\,ds, obtemos
S = 2\pi \int_{0}^{2} \sqrt{y}\,\frac{\sqrt{4y+1}}{2\sqrt{y}}\,dy = \pi \int_{0}^{2} \sqrt{4y+1}\,dy.

Passo 5

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{2}\sqrt{4y+1}\,dy, fazemos a mudança de variável u=4y+1, então du=4\,dy. Quando y=0, u=1; quando y=2, u=9. Logo,
\int_{0}^{2}\sqrt{4y+1}\,dy = \frac{1}{4}\int_{1}^{9}u^{1/2}\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\bigl(u^{3/2}\bigr)\Big|_{1}^{9} = \frac{1}{6}\,(27 - 1) = \frac{13}{3}.

Passo 6

Portanto,
S = \pi \cdot \frac{13}{3} = \frac{13\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{13\pi}{3}

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