Achar a área da superfície gerada pela revolução, em torno de O X, do arco de parábola y^{2}=4-x, que está no primeiro quadrante.
Resp. 36, 18.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela revolução, em torno de OX, do arco de parábola
y^{2}=4-x
no primeiro quadrante. Note que esse arco vai de y=0 (ponto (4,0)) até y=2 (ponto (0,2)).

Passo 2

Parametrizamos pelo próprio y\in[0,2]. Da equação y^{2}=4-x vem
x=4-y^{2},
e
\frac{dx}{dy}=-2y.
O elemento de arco é
ds=\sqrt{1+\Bigl(\frac{dx}{dy}\Bigr)^{2}}\;dy =\sqrt{1+4y^{2}}\;dy.
Na revolução em torno de OX, o raio é y, logo a fórmula da área de superfície é
S =2\pi\int_{0}^{2}y\,ds =2\pi\int_{0}^{2}y\sqrt{1+4y^{2}}\;dy.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u=1+4y^{2},\quad du=8y\,dy,
quando y=0\Rightarrow u=1, e y=2\Rightarrow u=17. Assim
y\,dy=\frac{du}{8},
e
S =2\pi\int_{u=1}^{17}\sqrt{u}\,\frac{du}{8} =\frac{\pi}{4}\int_{1}^{17}u^{\tfrac12}du =\frac{\pi}{4}\;\Bigl[\tfrac23\,u^{\tfrac32}\Bigr]_{1}^{17} =\frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr).

Passo 4

Logo, a área da superfície de revolução em torno de OX é
\boxed{S=\frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr)\approx36{,}16\,.}

Resposta

Não é possível obter dois números distintos “36” e “18” apenas com a rotação em torno de OX.
Ou seja, o enunciado está incompleto: só há um eixo de rotação (OX), mas a “Resposta: 36, 18” sugere que falta mencionar um segundo eixo (por exemplo, OY) para o qual se obteria o segundo valor.
Peço gentilmente a revisão do enunciado para esclarecer a que segunda rotação se refere o valor “18”.

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