Achar a área da superfície gerada pela revolução, em torno de O X, de cada uma das seguintes porções de curvas.
x^{2}+4 y^{2}=36.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar, em torno do eixo OX, a metade superior da elipse
x^{2}+4y^{2}=36,
isto é, o ramo dado por
y=\tfrac12\sqrt{36 - x^{2}},\quad -6\le x\le 6.
O conteúdo envolvido é superfície de revolução, cuja fórmula é
S = 2\pi\int_{a}^{b} y\,\sqrt{1+\bigl(y'\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Expressamos y e sua derivada. Temos
y = \frac12\sqrt{36 - x^{2}}
e
y' = \frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac12\sqrt{36 - x^{2}}\Bigr) = -\frac{x}{2\sqrt{36 - x^{2}}}.

Passo 3

Calculamos o fator \sqrt{1+(y')^{2}}:
1 + (y')^{2} = 1 + \frac{x^{2}}{4\,(36 - x^{2})} = \frac{4(36 - x^{2}) + x^{2}}{4(36 - x^{2})} = \frac{144 - 3x^{2}}{4(36 - x^{2})},
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\sqrt{1+(y')^{2}} = \frac{\sqrt{144 - 3x^{2}}}{2\sqrt{36 - x^{2}}}.
Multiplicando por y:
y\,\sqrt{1+(y')^{2}} = \frac{\sqrt{36 - x^{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{144 - 3x^{2}}}{2\sqrt{36 - x^{2}}} = \frac{\sqrt{144 - 3x^{2}}}{4}.

Passo 4

Substituímos na fórmula de S. Como y\ge0 de -6 a 6,
S = 2\pi\int_{-6}^{6} \frac{\sqrt{144 - 3x^{2}}}{4}\;dx = \frac{\pi}{2}\int_{-6}^{6}\sqrt{144 - 3x^{2}}\;dx.
Pela simetria,
S = \pi\int_{0}^{6}\sqrt{144 - 3x^{2}}\;dx.

Passo 5

Fazemos \sqrt{144 - 3x^{2}} = \sqrt{3}\,\sqrt{48 - x^{2}} e usamos a integral padrão
\int_{0}^{6}\sqrt{48 - x^{2}}\;dx = \frac{48}{2}\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{4\sqrt{3}}\Bigr)\Big|_{0}^{6} + \frac{x}{2}\sqrt{48 - x^{2}}\Big|_{0}^{6}.
Calcula-se
\arcsin\!\Bigl(\frac{6}{4\sqrt{3}}\Bigr)=\arcsin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{3}, \quad \sqrt{48 - 6^{2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3},
portanto
\int_{0}^{6}\sqrt{48 - x^{2}}\;dx = 24\cdot\tfrac{\pi}{3} + 3\cdot2\sqrt{3} = 8\pi + 6\sqrt{3}.
Multiplicando por \sqrt{3} e por \pi
S = \pi\;\sqrt{3}\;(8\pi + 6\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}\,\pi^{2} + 18\pi.

Resposta

S = 18\pi + 8\sqrt{3}\,\pi^{2}.

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