Achar a área da superfície gerada pela revolução, em torno de O X, de cada uma das seguintes porções de curvas.
x^{2}+y^{2}=4, de x=1 a x=2.

Passo 1

O enunciado dá a circunferência x^{2}+y^{2}=4 e pede a área da superfície obtida ao revolver a porção de curva de x=1 a x=2 em torno do eixo O X. O conteúdo aqui é área de superfície de revolução, para o qual usamos a fórmula
S = \int_{a}^{b} 2\pi\,y(x)\,\sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Expressamos y como função de x:
y = \sqrt{4 - x^{2}}\,,
então
y' = \frac{d}{dx}\sqrt{4 - x^{2}} = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\,.
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1 + (y')^{2} = 1 + \frac{x^{2}}{4 - x^{2}} = \frac{4}{4 - x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{1 + (y')^{2}} = \frac{2}{\sqrt{4 - x^{2}}}\,,
e o elemento de arco é
ds = \sqrt{1 + (y')^{2}}\;dx = \frac{2}{\sqrt{4 - x^{2}}}\;dx\,.

Passo 3

Substituímos na fórmula de área:
S = \int_{1}^{2} 2\pi\,y\,ds = \int_{1}^{2} 2\pi\,\sqrt{4 - x^{2}}\;\frac{2}{\sqrt{4 - x^{2}}}\;dx = \int_{1}^{2} 4\pi\;dx\,.

Passo 4

Basta integrar:
S = 4\pi \int_{1}^{2} dx = 4\pi \bigl[x\bigr]_{1}^{2} = 4\pi\,(2 - 1) = 4\pi\,.

Resposta

A área da superfície gerada é 4\pi.

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