Achar a área da superfície gerada pela revolução, em torno de O X, do arco da parábola y^{2}=2 p x, cuja projeção sobre O X é o segmento [0,4 p]. Resp. \quad \frac{52}{3} \pi p^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar em torno do eixo OX o arco da parábola
y^{2}=2p\,x
cuja projeção em OX vai de x=0 até x=4p. Para isso, usamos a fórmula da área de superfície de revolução para curvas y=y(x):
A \;=\; 2\pi \int_{a}^{b} y \,\sqrt{1+\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Da equação y^{2}=2p\,x tiramos
y = \sqrt{2p\,x},
com x\in[0,4p]. Agora calculamos a derivada:
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(2p\,x\bigr)^{1/2} = \frac{1}{2}(2p)\,(2p\,x)^{-1/2} = \frac{p}{\sqrt{2p\,x}}.

Passo 3

Montamos o termo dentro da raiz:
1 + \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2} = 1 + \frac{p^{2}}{2p\,x} = 1 + \frac{p}{2x} = \frac{2x + p}{2x}.
Logo,
\sqrt{1 + \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2}} = \frac{\sqrt{2x + p}}{\sqrt{2x}}.

Passo 4

Substituindo na fórmula de A:
A = 2\pi \int_{0}^{4p} \sqrt{2p\,x}\;\frac{\sqrt{2x + p}}{\sqrt{2x}}\;dx = 2\pi \int_{0}^{4p} \sqrt{p}\,\sqrt{2x + p}\;dx = 2\pi\sqrt{p}\int_{0}^{4p}\sqrt{2x + p}\;dx.

Passo 5

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{4p}\sqrt{2x + p}\,dx, fazemos a troca de variável
u = 2x + p, \quad du = 2\,dx,
quando x=0 temos u=p e quando x=4p temos u=9p. Assim,
\int_{0}^{4p}\sqrt{2x + p}\,dx = \frac12\int_{u=p}^{9p}u^{1/2}\,du = \frac12\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{p}^{9p} = \frac{1}{3}\bigl((9p)^{3/2}-p^{3/2}\bigr) = \frac{1}{3}p^{3/2}(27-1) = \frac{26}{3}\,p^{3/2}.

Passo 6

Voltando a A:
A = 2\pi\sqrt{p}\times\frac{26}{3}p^{3/2} = \frac{52}{3}\,\pi\,p^{2}.

Resposta

\frac{52}{3}\,\pi\,p^{2}.

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