Achar a derivada de enésima ordem da função y=\ln (1+x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de enésima ordem da função y=\ln(1+x). O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas de ordens superiores e reconhecimento de padrão usando a regra da cadeia e da potência.

Passo 2

Vamos calcular as primeiras derivadas e observar o padrão.
A derivada primeira é
y'=\frac{d}{dx}\ln(1+x)=\frac{1}{1+x}\,.
A derivada segunda, aplicando a regra da potência em (1+x)^{-1}, é
y''=\frac{d}{dx}(1+x)^{-1}=-1\,(1+x)^{-2}=-\frac{1}{(1+x)^2}\,.
A derivada terceira é
y'''=\frac{d}{dx}\Bigl(- (1+x)^{-2}\Bigr)=(-1)\cdot(-2)\,(1+x)^{-3}=\frac{2}{(1+x)^3}\,.

Passo 3

Repare que a cada derivação:
  1. O expoente do denominador aumenta em 1.
  2. O coeficiente se torna (n-1)! no n-ésimo passo.
  3. O sinal alterna conforme (-1)^{n-1}.
    Assim, para n\ge1, a n-ésima derivada é
y^{(n)}=\frac{(-1)^{\,n-1}(n-1)!}{(1+x)^{n}}\,.

Resposta

y^{(n)} = \frac{(-1)^{\,n-1}(n-1)!}{(1+x)^{n}}\,,\quad n\ge1.

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