Achar a derivada de enésima ordem da função
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de enésima ordem da função
. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas de ordens superiores e reconhecimento de padrão usando a regra da cadeia e da potência.
Passo 2
Vamos calcular as primeiras derivadas e observar o padrão.
A derivada primeira é
A derivada primeira é
A derivada segunda, aplicando a regra da potência em
, é
A derivada terceira é
Passo 3
Repare que a cada derivação:
- O expoente do denominador aumenta em 1.
- O coeficiente se torna
no -ésimo passo. - O sinal alterna conforme
.
Assim, para, a -ésima derivada é