Demonstrar que a função
para qualquer valor das constantes
e
satisfaz a equação:
Passo 1
O enunciado pede para verificarmos que a função
satisfaz a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é derivação de exponenciais e substituição direta na equação.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada
. Como
usando a regra de derivação de
(que dá
), obtemos
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada
. Derivando cada termo de
:
dá
Passo 4
Substituímos
,
e
em
Temos:
Agrupando os coeficientes de
:
e os de
:
Logo a soma total é zero.
Resposta
Como a combinação ficou nula, concluímos que
para quaisquer constantes
e
.