Demonstrar que a função y=C_{1} e^{-x}+C_{2} e^{-2 x} para qualquer valor das constantes C_{1} e C_{2} satisfaz a equação:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0 .

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos que a função
y = C_{1}e^{-x} + C_{2}e^{-2x}
satisfaz a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = 0.
O conteúdo aqui é derivação de exponenciais e substituição direta na equação.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada y'. Como
y = C_{1}e^{-x} + C_{2}e^{-2x},
usando a regra de derivação de e^{ax} (que dá ae^{ax}), obtemos
y' = -C_{1}e^{-x} -2C_{2}e^{-2x}.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada y''. Derivando cada termo de y':
y' = -C_{1}e^{-x} -2C_{2}e^{-2x}
y'' = C_{1}e^{-x} +4C_{2}e^{-2x}.

Passo 4

Substituímos y, y' e y'' em
y'' + 3y' + 2y.
Temos:
y'' + 3y' + 2y = \bigl(C_{1}e^{-x} +4C_{2}e^{-2x}\bigr) +3\bigl(-C_{1}e^{-x} -2C_{2}e^{-2x}\bigr) +2\bigl(C_{1}e^{-x} +C_{2}e^{-2x}\bigr).
Agrupando os coeficientes de e^{-x}:
C_{1} -3C_{1} +2C_{1} = 0,
e os de e^{-2x}:
4C_{2} -6C_{2} +2C_{2} = 0.
Logo a soma total é zero.

Resposta

Como a combinação ficou nula, concluímos que
y'' + 3y' + 2y = 0
para quaisquer constantes C_{1} e C_{2}.

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