Achar y^{\mathrm{V}} da função y=\ln (1+x).

Passo 1

O enunciado pede a quinta derivada de y=\ln(1+x), ou seja, y^{\mathrm{V}}=\frac{d^{5}}{dx^{5}}\bigl[\ln(1+x)\bigr]. O conteúdo aqui é diferenciação sucessiva de uma função logarítmica.

Passo 2

Vamos lembrar que a derivada de ordem n de \ln(1+x) satisfaz o padrão
\frac{d^{n}}{dx^{n}}\bigl[\ln(1+x)\bigr] =\;(-1)^{\,n-1}\,\frac{(n-1)!}{(1+x)^{n}},\quad n\ge1.
Isso pode ser verificado por indução usando que cada diferenciação de (1+x)^{-n} gera um fator -n e aumenta o expoente em 1.

Passo 3

Para n=5 temos
\frac{d^{5}}{dx^{5}}\bigl[\ln(1+x)\bigr] =\;(-1)^{5-1}\,\frac{(5-1)!}{(1+x)^{5}} =\;(-1)^{4}\,\frac{4!}{(1+x)^{5}}.

Passo 4

Calculando os fatores:
(-1)^{4}=1, \quad 4!=24,
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\frac{d^{5}}{dx^{5}}\bigl[\ln(1+x)\bigr] =\frac{24}{(1+x)^{5}}.

Resposta

y^{\mathrm{V}}=\frac{24}{(1+x)^{5}}.

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