Achar a derivada de enésima ordem da função
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de ordem
da função
O conteúdo usado será a regra de derivação de potências e o método de indução para generalizar o padrão de derivadas sucessivas.
Passo 2
Reescrevemos
como potência de
. Assim,
Sabemos que, ao derivar
, o resultado é
Como
, cada derivada de
ganha um fator
e um sinal
, que se compensa.
Passo 3
Calculamos as primeiras derivadas para identificar o padrão:
Os coeficientes
são
, e o expoente fica
.
Passo 4
Fazemos indução para a derivada de ordem
.
Hipótese de indução: suponha que
Hipótese de indução: suponha que
Então
Assim a fórmula vale para
, fechando a indução.