Achar a derivada de enésima ordem da função y=\frac{1}{1-x}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n da função
y = \frac{1}{1 - x}.
O conteúdo usado será a regra de derivação de potências e o método de indução para generalizar o padrão de derivadas sucessivas.

Passo 2

Reescrevemos y como potência de (1 - x). Assim,
y = (1 - x)^{-1}.
Sabemos que, ao derivar (1 - x)^{m}, o resultado é
\frac{d}{dx}(1 - x)^{m} = m\,(1 - x)^{m-1}\cdot\frac{d}{dx}(1 - x) = -m\,(1 - x)^{m-1}.
Como \frac{d}{dx}(1 - x) = -1, cada derivada de (1-x)^{m} ganha um fator -m e um sinal -1, que se compensa.

Passo 3

Calculamos as primeiras derivadas para identificar o padrão:
y' = \frac{d}{dx}(1 - x)^{-1} = (-1)\,(1 - x)^{-2}\cdot(-1) = 1\,(1 - x)^{-2},
y'' = \frac{d}{dx}\bigl((1 - x)^{-2}\bigr) = (-2)\,(1 - x)^{-3}\cdot(-1) = 2\,(1 - x)^{-3},
y^{(3)} = \frac{d}{dx}\bigl(2\,(1 - x)^{-3}\bigr) = 2\cdot(-3)\,(1 - x)^{-4}\cdot(-1) = 6\,(1 - x)^{-4}.
Os coeficientes 1,2,6 são 1!,2!,3!, e o expoente fica -1-1,-1-2,-1-3.

Passo 4

Fazemos indução para a derivada de ordem n.
Hipótese de indução: suponha que
y^{(k)} = k!\,(1 - x)^{-k-1}.
Então
y^{(k+1)} = \frac{d}{dx}\bigl(k!\,(1 - x)^{-k-1}\bigr) = k!\,(-k-1)\,(1 - x)^{-k-2}\cdot(-1) = (k+1)!\,(1 - x)^{-k-2}.
Assim a fórmula vale para k+1, fechando a indução.

Resposta

y^{(n)} = n!\,(1 - x)^{-\,n-1}.

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