Demonstrar que a função y=e^{2 x} sen 5 x satisfaz a equação:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+29 y=0 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
y = e^{2x}\sin(5x)
satisfaz a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 29y = 0.
O que precisamos fazer é calcular y' e y'' usando a regra do produto e depois substituir na expressão y'' - 4y' + 29y.

Passo 2

Calcular a primeira derivada y'. Como y = e^{2x}\sin(5x), pela regra do produto e cadeia,
y' = \frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr)\,\sin(5x) + e^{2x}\,\frac{d}{dx}\bigl(\sin(5x)\bigr) = 2e^{2x}\sin(5x) + 5e^{2x}\cos(5x).

Passo 3

Calcular a segunda derivada y''. Derivando termo a termo em
y' = 2e^{2x}\sin(5x) + 5e^{2x}\cos(5x),
temos
\frac{d}{dx}\bigl(2e^{2x}\sin(5x)\bigr) = 2\bigl(2e^{2x}\sin(5x) + 5e^{2x}\cos(5x)\bigr) = 4e^{2x}\sin(5x) + 10e^{2x}\cos(5x),
\frac{d}{dx}\bigl(5e^{2x}\cos(5x)\bigr) = 5\bigl(2e^{2x}\cos(5x) - 5e^{2x}\sin(5x)\bigr) = 10e^{2x}\cos(5x) - 25e^{2x}\sin(5x).
Somando,
y'' = (4e^{2x}\sin(5x) - 25e^{2x}\sin(5x)) + (10e^{2x}\cos(5x) + 10e^{2x}\cos(5x)) = -21e^{2x}\sin(5x) + 20e^{2x}\cos(5x).

Passo 4

Substituir y, y' e y'' em y'' - 4y' + 29y:
y'' - 4y' + 29y = \bigl(-21e^{2x}\sin(5x) + 20e^{2x}\cos(5x)\bigr) -4\bigl(2e^{2x}\sin(5x) + 5e^{2x}\cos(5x)\bigr) +29\,e^{2x}\sin(5x).
Fatorando e^{2x},
= e^{2x}\bigl(-21\sin(5x)+20\cos(5x)-8\sin(5x)-20\cos(5x)+29\sin(5x)\bigr).
Reagrupando termos em \sin(5x) e \cos(5x):
(-21 -8 +29)\sin(5x) + (20 -20)\cos(5x) = 0\cdot\sin(5x) + 0\cdot\cos(5x) = 0.

Resposta

Como a combinação dá zero identicamente, concluímos que
y = e^{2x}\sin(5x)
satisfaz a equação
y'' - 4y' + 29y = 0.

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