Achar a derivada de enésima ordem da função y=\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de enésima ordem de y=\sqrt{x} para x>0.
O conteúdo é a diferenciação de funções potência, usando a regra
\frac{d}{dx}x^{m}=m\,x^{m-1}
e repetindo-a sucessivamente.

Passo 2

Pela regra de potência, ao derivar x^{m} várias vezes, multiplicamos fatores decrescentes:
\frac{d}{dx}x^{m}=m\,x^{m-1},\quad \frac{d^2}{dx^2}x^{m}=m(m-1)\,x^{m-2},\;\ldots

Passo 3

No nosso caso m=\tfrac12. Calculando as primeiras derivadas para ver o padrão:
y = x^{\tfrac12}, \quad y' = \tfrac12\,x^{-\tfrac12},
y'' = \tfrac12\bigl(\tfrac12-1\bigr)\,x^{-\tfrac32}, \quad y''' = \tfrac12\bigl(\tfrac12-1\bigr)\bigl(\tfrac12-2\bigr)\,x^{-\tfrac52}.

Passo 4

A partir desses exemplos, percebemos que a n-ésima derivada é
y^{(n)} =\Bigl(\tfrac12\Bigr)\Bigl(\tfrac12-1\Bigr)\Bigl(\tfrac12-2\Bigr)\cdots\Bigl(\tfrac12-(n-1)\Bigr)\;x^{\tfrac12-n}.

Passo 5

Em notação de produto, podemos escrever de forma compacta:
y^{(n)} =\prod_{k=0}^{n-1}\Bigl(\tfrac12 - k\Bigr)\;x^{\tfrac12 - n}.

Resposta

y^{(n)} =\prod_{k=0}^{n-1}\Bigl(\tfrac12 - k\Bigr)\;x^{\tfrac12 - n}.

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