Demonstrar que a função y=e^{-x} \cos x satisfaz a equação diferencial: y^{\text {V1 }}+4 y=0.

Passo 1

O enunciado fornece a função
y = e^{-x}\cos x
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação diferencial
y^{(4)} + 4y = 0.
Vamos usar as regras de derivação (regra do produto e derivada de exponencial e seno/cosseno) para calcular y', y'', y''' e y^{(4)}.

Passo 2

Aplicando a regra do produto a y = e^{-x}\cos x, temos
y' = (e^{-x})'\cos x + e^{-x}(\cos x)' = -e^{-x}\cos x - e^{-x}\sin x = -e^{-x}(\cos x + \sin x).
Derivando de novo para obter y'',
y'' = \bigl[-e^{-x}(\cos x + \sin x)\bigr]' = -\bigl[(e^{-x})'(\cos x + \sin x) + e^{-x}(-\sin x + \cos x)\bigr]
= -\bigl[-e^{-x}(\cos x + \sin x) + e^{-x}(\cos x - \sin x)\bigr] = e^{-x}\bigl(\cos x + \sin x - \cos x + \sin x\bigr) = 2e^{-x}\sin x.

Passo 3

Agora a terceira derivada:
y''' = \bigl[2e^{-x}\sin x\bigr]' = 2\bigl[(e^{-x})'\sin x + e^{-x}\cos x\bigr] = 2\bigl[-e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x\bigr] = 2e^{-x}(\cos x - \sin x).
E a quarta derivada:
y^{(4)} = \bigl[2e^{-x}(\cos x - \sin x)\bigr]' = 2\bigl[(e^{-x})'(\cos x - \sin x) + e^{-x}(-\sin x - \cos x)\bigr]
= 2\bigl[-e^{-x}(\cos x - \sin x) + e^{-x}(-\sin x - \cos x)\bigr] = 2e^{-x}\bigl(-\cos x + \sin x - \sin x - \cos x\bigr) = -4e^{-x}\cos x.

Passo 4

Substituindo em \;y^{(4)} + 4y:
y^{(4)} + 4y = -4e^{-x}\cos x + 4\bigl(e^{-x}\cos x\bigr) = 0.

Resposta

A função y = e^{-x}\cos x satisfaz a equação diferencial \;y^{(4)} + 4y = 0.

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