Achar as derivadas de segunda ordem das seguintes funções:
f(x)=\left(1+x^{2}\right) \operatorname{arctg} x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a segunda derivada de
f(x) = \bigl(1 + x^2\bigr)\,\operatorname{arctg} x.
O conteúdo envolve regra do produto e derivada de \operatorname{arctg} x. Primeiro vamos achar f'(x) e depois f''(x).

Passo 2

Aplicamos a regra do produto em
f(x) = u(x)\,v(x)
com u(x)=1+x^2 e v(x)=\operatorname{arctg} x. Então
u'(x)=2x, \quad v'(x)=\frac{1}{1+x^2}.
Logo,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = 2x\,\operatorname{arctg} x + (1+x^2)\,\frac{1}{1+x^2}.
Simplificando o segundo termo, obtemos
f'(x) = 2x\,\operatorname{arctg} x + 1.

Passo 3

Agora derivamos f'(x):
f'(x) = 2x\,\operatorname{arctg} x + 1.
A derivada de 1 é zero, e de 2x\,\operatorname{arctg} x usamos novamente regra do produto, com a(x)=2x e b(x)=\operatorname{arctg} x. Temos
a'(x)=2, \quad b'(x)=\frac{1}{1+x^2}.
Logo,
\bigl(2x\,\operatorname{arctg} x\bigr)' = a'(x)\,b(x) + a(x)\,b'(x) = 2\,\operatorname{arctg} x + 2x\,\frac{1}{1+x^2}.
Portanto
f''(x) = 2\,\operatorname{arctg} x + \frac{2x}{1+x^2}.

Resposta

f'(x) = 2x\,\operatorname{arctg} x + 1, \qquad f''(x) = 2\,\operatorname{arctg} x + \frac{2x}{1+x^2}.

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