Achar a diferencial da função:
y=\frac{2}{\sqrt{x}},
quando x=9 e \Delta x=-0,01.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a diferencial da função
y = \frac{2}{\sqrt{x}}
quando x=9 e \Delta x=-0,01. O conteúdo é o uso da diferencial (aproximação linear) dada por
\mathrm{d}y = y'(x)\,\mathrm{d}x.

Passo 2

Calculamos a derivada y'(x). Escrevendo y = 2x^{-1/2}, temos
y'(x) = 2\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)x^{-3/2} = -\,x^{-3/2}.

Passo 3

A diferencial é
\mathrm{d}y = y'(x)\,\mathrm{d}x = -\,\frac{1}{x^{3/2}}\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Agora substituímos x=9 e \mathrm{d}x=\Delta x=-0,01. Como \sqrt{9}=3, temos 9^{3/2}=3^3=27, logo
\mathrm{d}y = -\,\frac{1}{27}\,\bigl(-0,01\bigr) = \frac{0,01}{27}.

Passo 5

Simplificando,
\mathrm{d}y = \frac{0,01}{27} = \frac{1}{2700}\approx0,00037.

Resposta

\mathrm{d}y = \frac{1}{2700}\approx0,00037.

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