Achar os extremos das funções:
y=x^3-9 x^2+15 x+3. Resp. ymax =10 para x=1, ymin =-22 para x=5.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos (máximo e mínimo) da função
y = x^3 - 9x^2 + 15x + 3
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas para localizar pontos críticos e usar o teste da segunda derivada para classificar cada extremo.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para achar os pontos críticos:
y' = ddxl(x^3 - 9x^2 + 15x + 3r) = 3x^2 - 18x + 15 = 3l(x^2 - 6x + 5r) = 3(x-1)(x-5)

Passo 3

Os pontos críticos vêm de y'=0, isto é,
3(x-1)(x-5)=0 Longrightarrow x=1ou x=5

Passo 4

Para classificar cada ponto, usamos a segunda derivada:
y'' = ddx(3x^2 - 18x + 15) = 6x - 18
Em x=1: y''(1)=6cdot1-18=-12<0, logo há um máximo local.
Em x=5: y''(5)=6cdot5-18=12>0, logo há um mínimo local.

Passo 5

Agora avaliamos y em cada ponto:
y(1) = 1^3 -9cdot1^2 +15cdot1 +3 = 1 -9 +15 +3 = 10,
y(5) = 5^3 -9cdot5^2 +15cdot5 +3 = 125 -225 +75 +3 = -22

Passo 6

Concluindo, a função tem máximo local de valor 10 em x=1 e mínimo local de valor -22 em x=5.

Resposta

O máximo é ymax=10 para x=1, e o mínimo é ymin=-22 para x=5.

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