Achar por integração a área lateral de um tronco de cone gerado pela revolução, em torno de O X, do segmento da reta 2 y= =x-4, cuja projeção sôbre O X é o segmento [0,5]. Verificar o resultado geomètricamente.

Passo 1

O enunciado pede a área lateral da superfície obtida ao girar, em torno do eixo OX, o segmento da reta
2y = x - 4,
cuja projeção no eixo OX é o intervalo 0 \le x \le 5.
Conteúdo: área de superfície de revolução. Vamos usar a fórmula
S \;=\; 2\pi \int_{a}^{b} \bigl|y(x)\bigr|\;\sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2}\;dx
e depois conferir geometricamente somando áreas de cones.

Passo 2

Escrevemos y como função de x. Da reta 2y = x-4 vem
y(x) = \frac{x}{2} - 2,
então
y'(x) = \frac12,
e
\sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2} = \sqrt{1 + \frac14} = \frac{\sqrt5}{2}.

Passo 3

A área lateral vale
S = 2\pi \int_{0}^{5} \bigl|y(x)\bigr|\;\frac{\sqrt5}{2}\;dx = \pi\sqrt5 \int_{0}^{5} \bigl|\,\tfrac{x}{2}-2\,\bigr|\;dx.
Para tratar o valor absoluto, encontramos onde y(x)=0.

Passo 4

Resolvendo \tfrac{x}{2}-2=0 x=4. Para 0\le x\le4, y(x)\le0, então \lvert y\rvert=2-\tfrac x2. Para 4\le x\le5, y(x)\ge0, então \lvert y\rvert=\tfrac x2-2.

Passo 5

Separamos a integral:
\int_{0}^{5} \bigl|\,\tfrac{x}{2}-2\,\bigr|\;dx = \int_{0}^{4}\!\Bigl(2 - \tfrac x2\Bigr)\,dx + \int_{4}^{5}\!\Bigl(\tfrac x2 - 2\Bigr)\,dx.

Passo 6

Calculamos cada parte:
\int_{0}^{4}\Bigl(2 - \tfrac x2\Bigr)dx = \Bigl[2x - \tfrac{x^2}{4}\Bigr]_{0}^{4} = (8 - 4) - 0 = 4,
\int_{4}^{5}\Bigl(\tfrac x2 - 2\Bigr)dx = \Bigl[\tfrac{x^2}{4} - 2x\Bigr]_{4}^{5} = \bigl(\tfrac{25}{4}-10\bigr)-\bigl(\tfrac{16}{4}-8\bigr) = \bigl(\tfrac{25-40}{4}\bigr)-\bigl(\tfrac{16-32}{4}\bigr) = \bigl(-\tfrac{15}{4}\bigr)-\bigl(-\tfrac{16}{4}\bigr) = \tfrac{1}{4}.
Logo a integral total é 4 + \tfrac14 = \tfrac{17}{4}.

Passo 7

Substituindo em S=\pi\sqrt5\int_0^5|\tfrac x2-2|\,dx, obtemos
S = \pi\sqrt5 \,\frac{17}{4} = \frac{17\pi\sqrt5}{4}.

Passo 8

Verificação geométrica: o segmento cruza o eixo em x=4, gerando dois cones:
  1. De x=0 a x=4, raios de 2 até 0, altura 4, geratriz \sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5, área lateral \pi\cdot2\cdot2\sqrt5=4\sqrt5\,\pi.
  2. De x=4 a x=5, raios de 0 a 0{,}5, altura 1, geratriz \sqrt{1^2+0{,}5^2}=\tfrac{\sqrt5}{2}, área lateral \pi\cdot0{,}5\cdot\tfrac{\sqrt5}{2}=\tfrac{\pi\sqrt5}{4}.
Somando:
4\sqrt5\,\pi + \frac{\pi\sqrt5}{4} = \frac{16\pi\sqrt5}{4} + \frac{\pi\sqrt5}{4} = \frac{17\pi\sqrt5}{4},
coincidindo com a integração.

Resposta

\boxed{\frac{17\pi\sqrt5}{4}}.

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