Achar por integração a área lateral de um tronco de cone gerado pela revolução, em torno de O X, do segmento da reta 2 y==x-4, cuja projeção sôbre O X é o segmento [0,5]. Verificar o resultado geomètricamente.
Passo 1
O enunciado pede a área lateral da superfície obtida ao girar, em torno do eixo OX, o segmento da reta
2y = x - 4,
cuja projeção no eixo OX é o intervalo 0 \le x \le 5.
Conteúdo: área de superfície de revolução. Vamos usar a fórmula
S \;=\; 2\pi \int_{a}^{b} \bigl|y(x)\bigr|\;\sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2}\;dx
e depois conferir geometricamente somando áreas de cones.
Passo 2
Escrevemos y como função de x. Da reta 2y = x-4 vem
S = 2\pi \int_{0}^{5} \bigl|y(x)\bigr|\;\frac{\sqrt5}{2}\;dx = \pi\sqrt5 \int_{0}^{5} \bigl|\,\tfrac{x}{2}-2\,\bigr|\;dx.
Para tratar o valor absoluto, encontramos onde y(x)=0.
Passo 4
Resolvendo \tfrac{x}{2}-2=0 dá x=4. Para 0\le x\le4, y(x)\le0, então \lvert y\rvert=2-\tfrac x2. Para 4\le x\le5, y(x)\ge0, então \lvert y\rvert=\tfrac x2-2.
Logo a integral total é 4 + \tfrac14 = \tfrac{17}{4}.
Passo 7
Substituindo em S=\pi\sqrt5\int_0^5|\tfrac x2-2|\,dx, obtemos
S = \pi\sqrt5 \,\frac{17}{4} = \frac{17\pi\sqrt5}{4}.
Passo 8
Verificação geométrica: o segmento cruza o eixo em x=4, gerando dois cones:
De x=0 a x=4, raios de 2 até 0, altura 4, geratriz \sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5, área lateral \pi\cdot2\cdot2\sqrt5=4\sqrt5\,\pi.
De x=4 a x=5, raios de 0 a 0{,}5, altura 1, geratriz \sqrt{1^2+0{,}5^2}=\tfrac{\sqrt5}{2}, área lateral \pi\cdot0{,}5\cdot\tfrac{\sqrt5}{2}=\tfrac{\pi\sqrt5}{4}.