Achar o menor inteiro positivo que multiplicado por 33 dá um produto cujos algarismos são todos 7.

Passo 1

O problema pede o menor inteiro positivo n tal que o produto
P = 33 times n
seja um número cujos dígitos são todos iguais a 7 (isto é, P=777ldots7). Vamos usar as regras de divisibilidade por 3 e por 11 para caracterizar o número repdigit de 7's.

Passo 2

Para que
P= underbrace777ldots7m dígitos í
seja divisível por 3, a soma dos dígitos deve ser múltiplo de 3. Como cada dígito vale 7, a soma é 7m. Logo precisamos de
7m equiv 0 pmod3
Como 7equiv1pmod3, isso dá
mequiv0pmod3

Passo 3

Para que P seja divisível por 11, o critério é que a diferença entre a soma dos dígitos em posições ímpares e a soma dos dígitos em posições pares seja múltiplo de 11. Se m for par, há exatamente m/2 dígitos em cada um dos grupos, e a diferença é zero, satisfazendo automaticamente a divisibilidade por 11. Se m for ímpar, a diferença vale 1 (em termos de número de dígitos), e multiplicada por 7 7, que não é múltiplo de 11. Portanto precisamos de
m par

Passo 4

Reunindo as condições:
1. mequiv0pmod3,
2. m é par.
O menor m>0 que satisfaz essas duas condições é
m = mmc(2,3) = 6

Passo 5

Com m=6, o número desejado é
P = 777777
Agora calculamos
n = P33 = 77777733
Primeiro dividimos por 3:
7777773 = 259259,
depois por 11:
25925911 = 23569
Logo
n = 23569
é o menor inteiro positivo que satisfaz o enunciado.

Resposta

23569

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