Achar o menor inteiro positivo que multiplicado por 33 dá um produto cujos algarismos são todos 7.
Passo 1
O problema pede o menor inteiro positivo tal que o produto
seja um número cujos dígitos são todos iguais a (isto é, ). Vamos usar as regras de divisibilidade por e por para caracterizar o número repdigit de 's.
Passo 2
Para que
seja divisível por 3, a soma dos dígitos deve ser múltiplo de 3. Como cada dígito vale 7, a soma é 7m. Logo precisamos de
7m equiv 0 pmod3
Como 7equiv1pmod3, isso dá
mequiv0pmod3
Passo 3
Para que P seja divisível por 11, o critério é que a diferença entre a soma dos dígitos em posições ímpares e a soma dos dígitos em posições pares seja múltiplo de 11. Se m for par, há exatamente m/2 dígitos em cada um dos grupos, e a diferença é zero, satisfazendo automaticamente a divisibilidade por 11. Se m for ímpar, a diferença vale 1 (em termos de número de dígitos), e multiplicada por 7 dá 7, que não é múltiplo de 11. Portanto precisamos de
m par
Passo 4
Reunindo as condições: 1. mequiv0pmod3, 2. m é par.
O menor m>0 que satisfaz essas duas condições é
m = mmc(2,3) = 6
Passo 5
Com m=6, o número desejado é
P = 777777
Agora calculamos
n = P33 = 77777733
Primeiro dividimos por 3:
7777773 = 259259,
depois por 11:
25925911 = 23569
Logo
n = 23569
é o menor inteiro positivo que satisfaz o enunciado.
Resposta
23569
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da Matemática - Vol 1 - 3ª Edição - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 15