Um número de três algarismos ( xyz )10 é igual a cinco vezes o número formado apenas pelos algarismos das unidades e dezenas (yz)10. Determine este número sabendo que a soma dos seus algarismos é 8(x+y+z=8) e que a subtração entre os algarismos das unidades e das dezenas é 3(z-y=3).

Passo 1

O enunciado pede um número de três algarismos (xyz)10 que satisfaz três condições:
  1. (xyz)10=5cdot (yz)10
  2. x+y+z=8
  3. z-y=3
    Aqui vamos usar álgebra básica e as expressões decimais para montar e resolver um sistema de equações inteiras.

Passo 2

Traduzindo a primeira condição para valores decimais, temos
100x + 10y + z ;=; 5,(10y + z)
Distribuindo o 5 no lado direito e isolando termos, fica
100x + 10y + z = 50y + 5z Longrightarrow 100x = 40y + 4z Longrightarrow 25x = 10y + z

Passo 3

Da terceira condição ,z - y = 3, obtemos
z = y + 3
E da segunda condição x + y + z = 8, substituindo z, vem
x + y + (y+3) = 8 Longrightarrow x + 2y = 5 Longrightarrow x = 5 - 2y

Passo 4

Substituímos x = 5-2y e z = y+3 na equação 25x = 10y + z:
25,(5 - 2y) = 10y + (y+3) Longrightarrow 125 - 50y = 11y + 3 Longrightarrow 125 - 3 = 61y Longrightarrow 61y = 122 Longrightarrow y = 2

Passo 5

Com y=2, voltamos às expressões:
x = 5 - 2y = 5 - 4 = 1, z = y + 3 = 2 + 3 = 5
Verificamos que x,y,z são dígitos válidos e cumprem todas as condições.

Resposta

O número procurado é 125.

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