Achar a ordem infinitesimal das funções:
log cos x+tg sen x

Passo 1

O enunciado pede a ordem infinitesimal de
log(cos x)+tan(sin x)
quando xto0. Vamos usar séries de Taylor em torno de 0 para cada parcela e depois somar.

Passo 2

Expandindo cos x e aplicando log:
cos x = 1 - x^22 + x^424 + O(x^6)
Seja u=-tfracx^22+tfracx^424; como
log(1+u)=u-tfracu^22+O(u^3), obtemos
log(cos x) = -x^22 + x^424 -12l(-x^22r)^2 +O(x^6) = -x^22 - x^412 + O(x^6)

Passo 3

Expandindo sin x e depois tan y:
sin x = x - x^36 + x^5120 + O(x^7),
tan y = y + y^33 + O(y^5)
Substituindo y=sin x e coletando até x^5:
tan(sin x) = x + x^36 - x^540 + O(x^7)

Passo 4

Somando as duas expansões:
log(cos x)+tan(sin x) = l(-tfracx^22-tfracx^412r) + l(x+tfracx^36-tfracx^540r) +O(x^6)
Logo,
log(cos x)+tan(sin x) = x - x^22 + x^36 + O(x^4)
O termo dominante é x.

Resposta

log(cos x)+tan(sin x)sim x quando xto0, ou seja, é infinitesimal de primeira ordem.

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