Aplicar as regras de L’Hospital ao cálculo dos seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite
onde usamos
para o logaritmo natural. Esse é um caso de limite do tipo
que costuma dar indeterminação
. Para resolver, vamos tomar o logaritmo do resultado e usar a regra de L’Hospital para encontrar o limite do expoente.
Passo 2
Definimos
e estudamos
Note que, quando
, temos
e
, resultando numa forma
.
Passo 3
Para aplicar L’Hospital, transformamos o produto numa razão com indeterminação
:
Quando
, o numerador tende a
e o denominador também tende a
, pois
implica
.
Passo 4
Aplicamos a regra de L’Hospital, diferenciando numerador e denominador em relação a
:
- Derivada do numerador
é - Derivada do denominador
é
Portanto, pela regra de L’Hospital,
Passo 5
Simplificando
, obtemos
Para
,
e
, logo
Assim
e, portanto,
Resposta
O limite é
.