Aplicar as regras de L’Hospital ao cálculo dos seguintes limites:
lim x 0(cot x)^log cos x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0(cot x)^logcos x
onde usamos log para o logaritmo natural. Esse é um caso de limite do tipo f(x)^g(x) que costuma dar indeterminação 1^infty. Para resolver, vamos tomar o logaritmo do resultado e usar a regra de L’Hospital para encontrar o limite do expoente.

Passo 2

Definimos
L = limxto0(cot x)^logcos x
e estudamos
ln L = limxto0l[log(cos x)cdotlog(cot x)r]
Note que, quando xto0, temos log(cos x)to0 e log(cot x)to+infty, resultando numa forma 0cdotinfty.

Passo 3

Para aplicar L’Hospital, transformamos o produto numa razão com indeterminação 0/0:
ln L = limxto0log(cos x)1log(cot x)
Quando xto0, o numerador tende a 0 e o denominador também tende a 0, pois log(cot x)to+infty implica 1/log(cot x)to0.

Passo 4

Aplicamos a regra de L’Hospital, diferenciando numerador e denominador em relação a x:
  • Derivada do numerador log(cos x) é ddxlog(cos x) = -tan x
  • Derivada do denominador 1/log(cot x) é ddxl(tfrac1log(cot x)r) = -1[log(cot x)]^2,ddxlog(cot x) = -1[log(cot x)]^2,l(-1sin xcos xr) = 1[log(cot x)]^2,sin xcos x
Portanto, pela regra de L’Hospital,
ln L = limxto0 -tan x 1[log(cot x)]^2,sin xcos x = limxto0 -tan x;l[log(cot x)r]^2,sin xcos x

Passo 5

Simplificando tan x=sin x/cos x, obtemos
ln L = limxto0 -,sin xcos x;[log(cot x)]^2,sin xcos x = limxto0 -[log(cot x)]^2,sin^2 x
Para xto0, sin^2 xsim x^2 e log(cot x)simlog(1/x)=-log x, logo
[log(cot x)]^2,sin^2 xsim x^2[log(1/x)]^2to0
Assim ln L=0 e, portanto,
L = e^ln L = e^0 = 1

Resposta

O limite é 1.

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