Achar a n^a derivada de
a^x

Passo 1

O enunciado pede a n-ésima derivada da função f(x)=a^x, onde a>0 e aneq1.
Conteúdo: derivada de função exponencial e uso da regra da cadeia e de indução.

Passo 2

Reescrevemos a^x em base e, pois isso facilita a diferenciação pela regra da cadeia.
a^x = e^xln a

Passo 3

Sabemos que, para g(x)=e^c x, vale
g'(x)=c,e^c x
pela regra da cadeia, e por indução sobre n segue que
d^ndx^ne^c x = c^n,e^c x

Passo 4

No nosso caso, c=ln a. Aplicando o resultado do passo anterior a f(x)=e^xln a, obtemos
f^(n)(x) = (ln a)^n,e^xln a = (ln a)^n,a^x

Resposta

f^(n)(x)=d^ndx^na^x = (ln a)^n,a^x

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