Se f(x, y)=3 x^{2}+2 x y-y^{2}, ache:
(a) \Delta h(3,0), o incremento de h em (3,0);
(b) \Delta h(3,0) quando \Delta x=0,04 e \Delta y=0,03;
(c) d h(3,0, \Delta x, \Delta y), a diferencial total de h em ( 3,0 );
(d) d h(3,0,0,04,0,03).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=3x^2+2xy-y^2 e pede:
(a) o incremento \Delta h(3,0)=f(3+\Delta x,0+\Delta y)-f(3,0);
(b) o valor numérico desse incremento para \Delta x=0,04 e \Delta y=0,03;
(c) a diferencial total dh(3,0,\Delta x,\Delta y) usando derivadas parciais;
(d) o valor numérico de dh para \Delta x=0,04 e \Delta y=0,03.
Vamos usar definição de incremento e fórmula da diferencial total.

Passo 2

Calculamos f(3,0) e depois f(3+\Delta x,\Delta y):
f(3,0)=3\cdot3^2+2\cdot3\cdot0-0^2=27.
f(3+\Delta x,\Delta y) =3(3+\Delta x)^2+2(3+\Delta x)\Delta y-\Delta y^2 =3(9+6\Delta x+\Delta x^2)+6\Delta y+2\Delta x\Delta y-\Delta y^2.
Logo o incremento fica
\Delta h(3,0)=f(3+\Delta x,\Delta y)-27 =18\Delta x+3\Delta x^2+6\Delta y+2\Delta x\Delta y-\Delta y^2.

Passo 3

Para \Delta x=0,04 e \Delta y=0,03 temos
\Delta h(3,0)=18\cdot0,04+3\cdot(0,04)^2+6\cdot0,03+2\cdot0,04\cdot0,03-(0,03)^2.
Calculando:
18\cdot0,04=0,72,\quad3\cdot0,04^2=0,0048,\quad6\cdot0,03=0,18,
2\cdot0,04\cdot0,03=0,0024,\quad-(0,03)^2=-0,0009,
\Delta h(3,0)\approx0,72+0,0048+0,18+0,0024-0,0009=0,9063.

Passo 4

As derivadas parciais são
f_x(x,y)=6x+2y,\quad f_y(x,y)=2x-2y.
Em (3,0) isso dá
f_x(3,0)=18,\quad f_y(3,0)=6.
Logo a diferencial total é
dh(3,0,\Delta x,\Delta y) =f_x(3,0)\,\Delta x+f_y(3,0)\,\Delta y =18\Delta x+6\Delta y.

Passo 5

Para \Delta x=0,04 e \Delta y=0,03 obtemos
dh(3,0,0,04,0,03)=18\cdot0,04+6\cdot0,03=0,72+0,18=0,90.

Resposta

(a) \Delta h(3,0)=18\Delta x+3\Delta x^2+6\Delta y+2\Delta x\Delta y-\Delta y^2
(b) \Delta h(3,0)\approx0,9063
(c) dh(3,0,\Delta x,\Delta y)=18\Delta x+6\Delta y
(d) dh(3,0,0,04,0,03)=0,90

Exercícios de Livros Relacionados