Ache dois números naturais cuja soma é 120 e cujo mmc é 144 .

Passo 1

O enunciado pede para achar dois números naturais x e y tais que
x + y = 120
e
mcm(x,y) = 144
O conteúdo envolve aritmética de divisores e o uso da fatoração em primos para determinar o mínimo múltiplo comum.

Passo 2

Primeiro, fatoramos 144 em primos:
144 = 2^4 cdot 3^2
Para que mcm(x,y)=144, em cada primo o expoente em mcm é o máximo dos expoentes em x e em y. Além disso, se x ou y tivessem qualquer outro primo, esse primo apareceria em mcm, contradizendo o valor 144. Logo, x e y só podem ter fatores 2 e 3.

Passo 3

Assim, x e y devem ser divisores de 144. Os divisores de 144 são
1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,36,48,72,144

Passo 4

Procuramos entre esses divisores um par (d,120-d) que também seja divisor de 144. Fazendo isso rapidamente vemos que o único par em que ambos são divisores de 144 e somam 120 é
(48,72),
pois 48+72=120.

Passo 5

Verificamos o mcm de 48 e 72 pela fatoração:
48 = 2^4cdot3^1, 72=2^3cdot3^2
O máximo dos expoentes em 2 é 4 e em 3 é 2, então
mcm(48,72)=2^4cdot3^2=144,
como desejado.

Resposta

Os números naturais são 48 e 72.

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