Ache dois números naturais cuja soma é 120 e cujo mmc é 144 .
Passo 1
O enunciado pede para achar dois números naturais
e
tais que
e
O conteúdo envolve aritmética de divisores e o uso da fatoração em primos para determinar o mínimo múltiplo comum.
Passo 2
Primeiro, fatoramos
em primos:
Para que
, em cada primo o expoente em
é o máximo dos expoentes em
e em
. Além disso, se
ou
tivessem qualquer outro primo, esse primo apareceria em
, contradizendo o valor
. Logo,
e
só podem ter fatores
e
.
Passo 3
Assim,
e
devem ser divisores de
. Os divisores de
são
Passo 4
Procuramos entre esses divisores um par
que também seja divisor de
. Fazendo isso rapidamente vemos que o único par em que ambos são divisores de
e somam
é
pois
.
Passo 5
Verificamos o
de
e
pela fatoração:
O máximo dos expoentes em
é
e em
é
, então
como desejado.
Resposta
Os números naturais são
e
.