Se n e k são números naturais não nulos e mdc (n, n+k)=1, prove que mdc(n, k)=1.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados n,kinNsetminus0 com gcd(n,n+k)=1, então necessariamente gcd(n,k)=1.
Conteúdo: vamos usar propriedades básicas de divisibilidade e a ideia central do algoritmo de Euclides, que diz que adicionar um múltiplo de um número a outro não altera o máximo divisor comum.

Passo 2

Seja d=gcd(n,k). Por definição, d divide n e também divide k. Como qualquer divisor comum também divide combinações lineares, concluímos que
d ;m|; (n + k)
Logo, d divide simultaneamente n e n+k.

Passo 3

Como d é um divisor de n e de n+k, segue que
d ;m|; gcd(n,n+k)
Mas por hipótese gcd(n,n+k)=1. Isso força d=1. Portanto gcd(n,k)=1.

Resposta

gcd(n,k)=1.

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