Se e são números naturais não nulos mdc , prove que .
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dados com , então necessariamente .
Conteúdo: vamos usar propriedades básicas de divisibilidade e a ideia central do algoritmo de Euclides, que diz que adicionar um múltiplo de um número a outro não altera o máximo divisor comum.
Passo 2
Seja . Por definição, divide e também divide . Como qualquer divisor comum também divide combinações lineares, concluímos que
Logo, d divide simultaneamente n e n+k.
Passo 3
Como d é um divisor de n e de n+k, segue que
d ;m|; gcd(n,n+k)
Mas por hipótese gcd(n,n+k)=1. Isso força d=1. Portanto gcd(n,k)=1.
Resposta
gcd(n,k)=1.
Cálculo - Hygino Domingues - Fundamentos de Aritmética - 1ª Edição - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 69