Ache a ordern dos inteiros 4,7 e 11 :
módulo 17

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a ordem multiplicativa de 4, 7 e 11 no grupo Z17^*. Como 17 é primo, esse grupo tem ordem varphi(17)=16, e a ordem de cada elemento deve ser um divisor de 16.

Passo 2

Para achar a ordem de 4, testamos os divisores de 16 em ordem crescente até encontrar o menor k tal que 4^kequiv1pmod17.
4^1equiv4pmod17(neq1), 4^2equiv16pmod17(neq1),
4^4equiv(4^2)^2equiv16^2equiv256equiv1pmod17
Logo, a ordem de 4 é 4.

Passo 3

Para achar a ordem de 7, testamos novamente os divisores de 16:
7^2equiv49equiv15pmod17(neq1), 7^4equiv15^2equiv225equiv4pmod17(neq1),
7^8equiv4^2equiv16pmod17(neq1),
e pelo teorema de Fermat temos
7^16equiv1pmod17
Não há expoente menor que 16 que dê 1, então a ordem de 7 é 16.

Passo 4

Para 11, aplicamos o mesmo procedimento:
11^2equiv121equiv2pmod17(neq1), 11^4equiv2^2equiv4pmod17(neq1),
11^8equiv4^2equiv16pmod17(neq1), 11^16equiv1pmod17
Assim, a ordem de 11 também é 16.

Resposta

A ordem de 4 módulo 17 é 4.
A ordem de 7 módulo 17 é 16.
A ordem de 11 módulo 17 é 16.

Exercícios de Livros Relacionados