Se o número x679y (x e y representam algarismos) é divisível por 72, ache xey.

Passo 1

O enunciado diz que o número de cinco algarismos x679y é divisível por 72. Como 72 = 8 times 9, para que esse número seja divisível por 72 ele deve ser simultaneamente divisível por 8 e por 9. Vamos usar o teste de divisibilidade por 8 (os três últimos dígitos formam um número múltiplo de 8) e o teste de divisibilidade por 9 (a soma dos dígitos é múltipla de 9).

Passo 2

Testando a divisibilidade por 8: os três últimos dígitos do número são 7,9,y, ou seja, o número
79y = 790 + y
Queremos
790 + y equiv 0 pmod8
Como 790 div 8 deixa resto 6, temos
790 equiv 6 pmod8 Longrightarrow 6 + y equiv 0 pmod8 Longrightarrow y equiv 2 pmod8
Como y é um dígito ( 0<= y<=9), a única possibilidade é
y = 2

Passo 3

Testando a divisibilidade por 9: a soma dos dígitos de x679y deve ser múltipla de 9. Essa soma é
x + 6 + 7 + 9 + y = x + y + 22
Portanto devemos ter
x + y + 22 equiv 0 pmod9
Como 22 equiv 4 pmod9, isso dá
x + y + 4 equiv 0 pmod9 Longrightarrow x + y equiv 5 pmod9
Substituindo y=2, vem
x + 2 equiv 5 pmod9 Longrightarrow x equiv 3 pmod9
Como x é um dígito, a solução é
x = 3

Passo 4

Concluímos que os dígitos que satisfazem simultaneamente os testes de divisibilidade por 8 e por 9 são
x = 3 e y = 2

Resposta

x = 3 e y = 2

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