Sejam a1, a2, ldots, an in Z. Prove que:
|prodi=1^n ai|=prodi=1^n|ai|

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para inteiros a1,dots,an, vale
|prodi=1^nai| = prodi=1^nl|air|
O conteúdo é a propriedade multiplicativa do valor absoluto combinada com a ideia de escrever cada inteiro em termos de sua “parte positiva” e seu sinal.

Passo 2

Para cada i, defina o sinal de ai por
si = 1, & ai>=0, -1,& ai<0
Então, por definição de valor absoluto,
ai=si,l|air|

Passo 3

Multiplicando todos os ai, obtemos
prodi=1^nai = prodi=1^nl(si,l|air)r) = l(prodi=1^nsir),l(prodi=1^nl|air|r)

Passo 4

Note que cada si é pm1, logo o produto
S = prodi=1^nsi
também é pm1. Em consequência,
l|Sr|=1

Passo 5

Aplicando valor absoluto na fatoração e usando a propriedade básica l|XYr|=l|Xr|l|Yr| para inteiros, vem
|prodi=1^nai| = l|Scdotprodi=1^nl|air|r| = underbracel|Sr|1;cdot;prodi=1^nl|air| = prodi=1^nl|air|

Resposta

|prodi=1^nai| = prodi=1^nl|air|

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