Admita que as funções trigonométricas e as funções hiperbólicas são definidas para argumento complexo pela série de potências adequada.
6.1.10 Usando as identidades
estabelecidas por comparação de séries de potências, mostre que
(a) \operatorname{sen}(x+i y)=\operatorname{sen} x \operatorname{cosh} y+i \cos x \operatorname{senh} y, \cos (x+i y)=\cos x \operatorname{cosh} y-i \operatorname{sen} x \operatorname{senh} y,
(b) |\operatorname{sen} z|^{2}=\operatorname{sen}^{2} x+\operatorname{senh}^{2} y, \quad|\cos z|^{2}=\cos ^{2} x+\operatorname{senh}^{2} y.
Isso demonstra que podemos ter |\operatorname{sen} z|,|\cos z|>1 no plano complexo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando as definições
\cos z = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2},\quad \sin z = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i},
que, ao escrever z = x + i y com x,y\in\mathbb{R}, valem as fórmulas de separação em parte real e imaginária e as fórmulas para o módulo. Vamos usar a fórmula de Euler para números reais e as definições de \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh}:
\operatorname{cosh} y = \frac{e^{y}+e^{-y}}{2},\quad \operatorname{sinh} y = \frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.
Passo 2
Calculemos as exponenciais de z e -z:
e^{\,i(x+iy)} = e^{\,i x - y} = e^{-y}\bigl(\cos x + i\sin x\bigr),
e^{-\,i(x+iy)} = e^{-i x + y} = e^{\,y}\bigl(\cos x - i\sin x\bigr).
Passo 3
Substituindo em \sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, obtemos
\sin(x+iy) = \frac{e^{-y}(\cos x + i\sin x)\;-\;e^{y}(\cos x - i\sin x)}{2i}.
\displaystyle \sin(x+iy)=\sin x\operatorname{cosh} y + i\,\cos x\operatorname{sinh} y,\quad
\cos(x+iy)=\cos x\operatorname{cosh} y - i\,\sin x\operatorname{sinh} y.