Admita que as funções trigonométricas e as funções hiperbólicas são definidas para argumento complexo pela série de potências adequada.
6.1.10 Usando as identidades
\cos z=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2}, \quad \operatorname{sen} z=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2 i},
estabelecidas por comparação de séries de potências, mostre que
(a) \operatorname{sen}(x+i y)=\operatorname{sen} x \operatorname{cosh} y+i \cos x \operatorname{senh} y,
\cos (x+i y)=\cos x \operatorname{cosh} y-i \operatorname{sen} x \operatorname{senh} y,
(b) |\operatorname{sen} z|^{2}=\operatorname{sen}^{2} x+\operatorname{senh}^{2} y, \quad|\cos z|^{2}=\cos ^{2} x+\operatorname{senh}^{2} y.
Isso demonstra que podemos ter |\operatorname{sen} z|,|\cos z|>1 no plano complexo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando as definições
\cos z = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2},\quad \sin z = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i},
que, ao escrever z = x + i y com x,y\in\mathbb{R}, valem as fórmulas de separação em parte real e imaginária e as fórmulas para o módulo. Vamos usar a fórmula de Euler para números reais e as definições de \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh}:
\operatorname{cosh} y = \frac{e^{y}+e^{-y}}{2},\quad \operatorname{sinh} y = \frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.

Passo 2

Calculemos as exponenciais de z e -z:
e^{\,i(x+iy)} = e^{\,i x - y} = e^{-y}\bigl(\cos x + i\sin x\bigr),
e^{-\,i(x+iy)} = e^{-i x + y} = e^{\,y}\bigl(\cos x - i\sin x\bigr).

Passo 3

Substituindo em \sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, obtemos
\sin(x+iy) = \frac{e^{-y}(\cos x + i\sin x)\;-\;e^{y}(\cos x - i\sin x)}{2i}.
Separe termos reais e imaginários:
\sin(x+iy) = \frac{\cos x\,(e^{-y}-e^{y})}{2i} + \frac{i\sin x\,(e^{-y}+e^{y})}{2i}.
Usando e^{-y}-e^{y}=-2\operatorname{sinh} y e e^{-y}+e^{y}=2\operatorname{cosh} y,
\sin(x+iy) = \sin x\;\operatorname{cosh} y \;+\; i\,\cos x\;\operatorname{sinh} y.

Passo 4

Analogamente, em \cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} temos
\cos(x+iy) = \frac{e^{-y}(\cos x + i\sin x)\;+\;e^{y}(\cos x - i\sin x)}{2}
= \frac{\cos x\,(e^{-y}+e^{y})}{2} + \frac{i\sin x\,(e^{-y}-e^{y})}{2} = \cos x\;\operatorname{cosh} y \;-\; i\,\sin x\;\operatorname{sinh} y.

Passo 5

Para o módulo quadrado, use \overline{\sin(x+iy)}=\sin x\operatorname{cosh} y - i\cos x\operatorname{sinh} y. Então
|\sin(x+iy)|^2 = \bigl(\sin x\operatorname{cosh} y + i\cos x\operatorname{sinh} y\bigr)\, \bigl(\sin x\operatorname{cosh} y - i\cos x\operatorname{sinh} y\bigr) = \sin^2x\,\operatorname{cosh}^2y + \cos^2x\,\operatorname{sinh}^2y.
Mas \operatorname{cosh}^2y = 1 + \operatorname{sinh}^2y, logo
|\sin z|^2 = \sin^2x\,(1+\operatorname{sinh}^2y) + \cos^2x\,\operatorname{sinh}^2y = \sin^2x + \operatorname{sinh}^2y.
De modo análogo, para \cos z encontra-se
|\cos z|^2 = \cos^2x + \operatorname{sinh}^2y.

Resposta

\displaystyle \sin(x+iy)=\sin x\operatorname{cosh} y + i\,\cos x\operatorname{sinh} y,\quad \cos(x+iy)=\cos x\operatorname{cosh} y - i\,\sin x\operatorname{sinh} y.
\displaystyle |\sin z|^2=\sin^2x+\operatorname{sinh}^2y,\quad |\cos z|^2=\cos^2x+\operatorname{sinh}^2y.

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