6.1.21 (a) Mostre que
é sempre igual a
.
(b) Mostre que
nem sempre é igual a
.
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado trata de funções complexas exponencial e logaritmo. Precisamos usar a definição do logaritmo complexo na sua forma principal,
e a definição da exponencial complexa
Com isso, vamos mostrar primeiro que
sempre, e depois que
difere de
por múltiplos inteiros de
.
Passo 2
Para (a), seja
. Escrevendo
ao aplicarmos a exponencial temos
Mas por definição de módulo e argumento,
Logo
para todo
.
Passo 3
Para (b), consideremos
genérico. Se aplicamos primeiro a exponencial e depois o logaritmo principal, obtemos
Aqui
é igual a
módulo
, trazido para
. Portanto em geral
Só quando
recuperamos exatamente
.
Passo 4
Um exemplo concreto: tome
. Então
e, no ramo principal,
Isso mostra que
nem sempre volta em
.
Resposta
(a)
.
(b) para algum
, de modo que não é igual a
em geral.
(b)