6.1.21 (a) Mostre que e^{\ln z} é sempre igual a z.
(b) Mostre que \ln e^{z} nem sempre é igual a z.

Passo 1

O enunciado trata de funções complexas exponencial e logaritmo. Precisamos usar a definição do logaritmo complexo na sua forma principal,
\ln z = \ln|z| + i\,\Arg(z),\quad \Arg(z)\in(-\pi,\pi],
e a definição da exponencial complexa
e^w = e^{u+iv} = e^u\bigl(\cos v + i\sin v\bigr).
Com isso, vamos mostrar primeiro que e^{\ln z}=z sempre, e depois que \ln(e^z) difere de z por múltiplos inteiros de 2\pi i.

Passo 2

Para (a), seja z\neq0. Escrevendo
\ln z = \ln|z| + i\,\Arg(z),
ao aplicarmos a exponencial temos
e^{\ln z} = e^{\ln|z| + i\,\Arg(z)} = e^{\ln|z|}\,e^{i\,\Arg(z)} = |z|\bigl(\cos(\Arg(z)) + i\sin(\Arg(z))\bigr).
Mas por definição de módulo e argumento,
|z|(\cos(\Arg(z)) + i\sin(\Arg(z))) = z.
Logo
e^{\ln z} = z
para todo z\neq0.

Passo 3

Para (b), consideremos w=z genérico. Se aplicamos primeiro a exponencial e depois o logaritmo principal, obtemos
\ln\bigl(e^z\bigr) = \ln\bigl(e^{x+iy}\bigr) = \ln\bigl(e^x e^{iy}\bigr) = \ln\bigl(e^x\bigl(\cos y + i\sin y\bigr)\bigr) = \ln\bigl(e^x\bigr) + i\,\Arg\bigl(e^{iy}\bigr).
Aqui \Arg(e^{iy}) é igual a y módulo 2\pi, trazido para (-\pi,\pi]. Portanto em geral
\ln\bigl(e^z\bigr) = x + i\bigl(y + 2\pi k\bigr) = z + 2\pi i k, \quad k\in\mathbb Z.
Só quando k=0 recuperamos exatamente z.

Passo 4

Um exemplo concreto: tome z=2\pi i. Então
e^z = e^{2\pi i} = 1
e, no ramo principal,
\ln\bigl(e^z\bigr) = \ln(1) = 0 \neq 2\pi i.
Isso mostra que \ln(e^z) nem sempre volta em z.

Resposta

(a) e^{\ln z}=z.
(b) \ln\bigl(e^z\bigr)=z+2\pi i k para algum k\in\mathbb Z, de modo que não é igual a z em geral.

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