Mostre que
Sugestão: 1. Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.
2. Resolva para a exponencial e então para o expoente.
,
2. Resolva para a exponencial e então para o expoente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
Aqui o conteúdo é função hiperbólica inversa e logaritmo. Vamos usar a definição
e resolver em termos de .
e resolver em termos de
Passo 2
Seja
então
Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando, temos
Passo 3
Multiplicamos a equação anterior por
para eliminar
:
Isso é uma equação quadrática em
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de Bhaskara em
, obtemos
Como
, escolhemos o sinal “
”, logo
Passo 5
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, fica
Mas
, portanto chegamos à fórmula desejada.