Mostre que
Sugestão: 1. Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.
2. Resolva para a exponencial e então para o expoente.
\operatorname{senh}^{-1} z=\ln \left(z+\sqrt{z^{2}+1}\right),

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\operatorname{senh}^{-1}z = \ln\bigl(z + \sqrt{z^2+1}\bigr).
Aqui o conteúdo é função hiperbólica inversa e logaritmo. Vamos usar a definição
\operatorname{senh}y = \tfrac{e^y - e^{-y}}2
e resolver em termos de e^y.

Passo 2

Seja
y = \operatorname{senh}^{-1}z,
então
z = \operatorname{senh}y = \frac{e^y - e^{-y}}2.
Multiplicando ambos os lados por 2 e reorganizando, temos
2z = e^y - e^{-y} \quad\Longrightarrow\quad e^y - 2z - e^{-y} = 0.

Passo 3

Multiplicamos a equação anterior por e^y para eliminar e^{-y}:
e^{2y} - 2z\,e^y - 1 = 0.
Isso é uma equação quadrática em u = e^y:
u^2 - 2z\,u - 1 = 0.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara em u^2 - 2z\,u -1=0, obtemos
u = \frac{2z \pm \sqrt{(2z)^2 + 4}}{2} = z \pm \sqrt{z^2 + 1}.
Como u = e^y > 0, escolhemos o sinal “ +”, logo
e^y = z + \sqrt{z^2 + 1}.

Passo 5

Tomando logaritmo natural em ambos os lados, fica
y = \ln\bigl(z + \sqrt{z^2+1}\bigr).
Mas y = \operatorname{senh}^{-1}z, portanto chegamos à fórmula desejada.

Resposta

\operatorname{senh}^{-1}z = \ln\bigl(z + \sqrt{z^2+1}\bigr).

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