Mostre que
Sugestão: 1. Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.
2. Resolva para a exponencial e então para o expoente.
senh^-1 z=ln (z+raizz^2+1),

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
senh^-1z = lnl(z + raizz^2+1r)
Aqui o conteúdo é função hiperbólica inversa e logaritmo. Vamos usar a definição
senhy = tfrace^y - e^-y2
e resolver em termos de e^y.

Passo 2

Seja
y = senh^-1z,
então
z = senhy = e^y - e^-y2
Multiplicando ambos os lados por 2 e reorganizando, temos
2z = e^y - e^-y Longrightarrow e^y - 2z - e^-y = 0

Passo 3

Multiplicamos a equação anterior por e^y para eliminar e^-y:
e^2y - 2z,e^y - 1 = 0
Isso é uma equação quadrática em u = e^y:
u^2 - 2z,u - 1 = 0

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara em u^2 - 2z,u -1=0, obtemos
u = 2z pm raiz(2z)^2 + 42 = z pm raizz^2 + 1
Como u = e^y > 0, escolhemos o sinal “ +”, logo
e^y = z + raizz^2 + 1

Passo 5

Tomando logaritmo natural em ambos os lados, fica
y = lnl(z + raizz^2+1r)
Mas y = senh^-1z, portanto chegamos à fórmula desejada.

Resposta

senh^-1z = lnl(z + raizz^2+1r)

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