Um agiota emprestou certa quantia, por 1 ano e 8 meses, a juros simples, à taxa de 10% a.m., recebendo ao final desse período o capital acrescido dos juros. Por quanto tempo ele deveria aplicar o capital emprestado, a juros compostos, à taxa de 1,5% a.m., a fim de receber o mesmo montante do empréstimo?

Passo 1

O enunciado trata de um capital P emprestado por 1 ano e 8 meses (ou seja, 20 meses) a juros simples de 10% ao mês, resultando num montante M. Em seguida queremos aplicar o mesmo P a juros compostos de 1,5% ao mês para obter o mesmo montante M. Vamos usar a fórmula de juro simples e depois a de juro composto para encontrar o tempo t.

Passo 2

Para juro simples a taxa mensal é
i = 10% = 0,10
e o prazo é n = 20 meses. A fórmula do montante em juros simples é
M = P,(1 + i times n)
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M = P,(1 + 0,10 times 20) = P,(1 + 2) = 3P

Passo 3

Agora, para juros compostos à taxa mensal
j = 1,5% = 0,015,
o montante em t meses é
M = P,(1 + j)^t
Queremos que esse montante seja igual a 3P, ou seja
P,(1 + 0,015)^t = 3P Longrightarrow (1,015)^t = 3

Passo 4

Isolando t, tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
t = ln 3ln(1,015)

Passo 5

Calculando numericamente:
ln 3 approx 1,0986123, ln(1,015) approx 0,0148886,
t approx 1,09861230,0148886 approx 73,76 meses

Resposta

O capital deve ser aplicado aproximadamente por 73,8 meses (ou cerca de 6 anos e 2 meses) a juros compostos de 1,5% ao mês para gerar o mesmo montante.

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