Um agiota emprestou certa quantia, por 1 ano e 8 meses, a juros simples, à taxa de 10% a.m., recebendo ao final desse período o capital acrescido dos juros. Por quanto tempo ele deveria aplicar o capital emprestado, a juros compostos, à taxa de 1,5% a.m., a fim de receber o mesmo montante do empréstimo?
Passo 1
O enunciado trata de um capital
emprestado por 1 ano e 8 meses (ou seja, 20 meses) a juros simples de
ao mês, resultando num montante
. Em seguida queremos aplicar o mesmo
a juros compostos de
ao mês para obter o mesmo montante
. Vamos usar a fórmula de juro simples e depois a de juro composto para encontrar o tempo
.
Passo 2
Para juro simples a taxa mensal é
e o prazo é
meses. A fórmula do montante em juros simples é
Logo
Passo 3
Agora, para juros compostos à taxa mensal
o montante em
meses é
Queremos que esse montante seja igual a
, ou seja
Passo 4
Isolando
, tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 5
Calculando numericamente:
Resposta
O capital deve ser aplicado aproximadamente por
meses (ou cerca de 6 anos e 2 meses) a juros compostos de
ao mês para gerar o mesmo montante.