21 Um agrimensor na margem sul de um rio precisa medir a distância entre um rochedo na margem sul do rio até uma árvore na margem norte. O agrimensor mede que a distância do rochedo até uma pequena colina na margem sul do rio é 413 pés (126 m ). Do rochedo, o agrimensor usa um instrumento para determinar que o ângulo árvore - rochedo - colina é de 71^{\circ}. Da colina, o agrimensor encontra que o ângulo árvore - colina - rochedo é de 93^{\circ}.
(a) Qual é a distância do rochedo até a árvore?
(b) Qual é a distância da colina até a árvore?

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o triângulo cujos vértices são o rochedo R, a colina H e a árvore T. Foi medida a distância
RH = 413\text{ ft},
o ângulo no vértice R,
\angle HRT = 71^\circ,
e o ângulo no vértice H,
\angle RHT = 93^\circ.
O que se pede é a distância RT (rochedo–árvore) e a distância HT (colina–árvore). Para isso, vamos usar a lei dos senos:
\frac{RT}{\sin\angle RHT} \;=\;\frac{HT}{\sin\angle HRT}\;=\;\frac{RH}{\sin\angle RTH}.

Passo 2

Primeiro, encontramos o ângulo no vértice T, chamando-o de \angle RTH. Como a soma dos ângulos de um triângulo vale 180^\circ, temos
\angle RTH = 180^\circ - 71^\circ - 93^\circ = 16^\circ.

Passo 3

Aplicando a lei dos senos para achar RT, escrevemos
\frac{RT}{\sin(93^\circ)} = \frac{RH}{\sin(16^\circ)}.
Isolando RT,
RT = RH \,\frac{\sin(93^\circ)}{\sin(16^\circ)} = 413 \,\frac{\sin(93^\circ)}{\sin(16^\circ)}.
Numericamente, \sin(93^\circ)\approx0.9986 e \sin(16^\circ)\approx0.2756, logo
RT \approx 413\;\frac{0.9986}{0.2756}\approx 1497\text{ ft}
ou, em metros ( 1\text{ ft}\approx0,3048\text{ m}),
RT\approx 1497 \times 0,3048 \approx 456\text{ m}.

Passo 4

Agora aplicamos a lei dos senos para achar HT:
\frac{HT}{\sin(71^\circ)} = \frac{RH}{\sin(16^\circ)} \quad\Longrightarrow\quad HT = 413\,\frac{\sin(71^\circ)}{\sin(16^\circ)}.
Como \sin(71^\circ)\approx0.9456, obtemos
HT \approx 413\;\frac{0.9456}{0.2756}\approx 1417\text{ ft}
e em metros
HT\approx 1417 \times 0,3048 \approx 432\text{ m}.

Resposta

(a) RT\approx1497\text{ ft}\approx456\text{ m}.
(b) HT\approx1417\text{ ft}\approx432\text{ m}.

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