Que ângulos varphi formam com o eixo O X as tangentes à curva y=x-x^{2} nos pontos com abscissas:
c) x=1 ?

Passo 1

Temos a curva definida por
y = x - x^{2}
e queremos saber o ângulo \varphi que a reta tangente a essa curva, no ponto de abscissa x=1, faz com o eixo OX. Para isso, vamos usar o conceito de derivada: a derivada y' num ponto dá o coeficiente angular m da reta tangente nesse ponto, e o ângulo \varphi satisfaz
\tan\varphi = m.

Passo 2

Calculemos a derivada de y em função de x:
y' = \frac{d}{dx}\bigl(x - x^{2}\bigr) = 1 - 2x.

Passo 3

Avaliamo-la em x=1:
m = y'(1) = 1 - 2\cdot1 = -1.
Logo, o coeficiente angular da reta tangente em x=1 é m=-1.

Passo 4

O ângulo \varphi entre essa reta e o eixo OX satisfaz
\tan\varphi = m = -1.
Portanto
\varphi = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} + k\pi,
sendo k\in\mathbb{Z}. O valor principal (na faixa (-\pi,\pi]) é
\varphi = -\frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \varphi = -\frac{\pi}{4} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}, sendo o valor principal \varphi=-\tfrac{\pi}{4}.

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