Apresente os três corolários do Teorema do Valor Médio.
Passo 1
O enunciado pede para apresentar os três corolários do Teorema do Valor Médio. O conteúdo é cálculo diferencial: vamos usar o Teorema do Valor Médio (TVM) que diz que, se
é contínua em
e diferenciável em
, então existe
tal que
Passo 2
Para o Corolário 1, suponha que
para todo
. Dados quaisquer
com
, o TVM garante um
tal que
Logo
para todos
, isto é,
é constante em
.
Passo 3
Para o Corolário 2, suponha que
(ou
) em
. Novamente, para
, existe
com
Se
, então
, mostrando que
é (estritamente) crescente. Analogamente, se
,
é (estritamente) decrescente.
Passo 4
Para o Corolário 3, suponha duas funções
e
contínuas em
e diferenciáveis em
com
em
. Defina
. Então
, e pelo Corolário 1
é constante em
. Logo existe
tal que
Resposta
Corolário 1. Se
é contínua em
, diferenciável em
e
em
, então
é constante em
.
Corolário 2. Se é contínua em
, diferenciável em
e
(
) em
, então
é (estritamente) crescente (decrescente) em
.
Corolário 3. Se e
são contínuas em
, diferenciáveis em
e
em
, então existe constante
tal que
em
.
Corolário 2. Se
Corolário 3. Se