Apresente os três corolários do Teorema do Valor Médio.

Passo 1

O enunciado pede para apresentar os três corolários do Teorema do Valor Médio. O conteúdo é cálculo diferencial: vamos usar o Teorema do Valor Médio (TVM) que diz que, se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,.

Passo 2

Para o Corolário 1, suponha que f'(x)=0 para todo x\in(a,b). Dados quaisquer x,y\in[a,b] com x<y, o TVM garante um c\in(x,y) tal que
f(y)-f(x)=f'\text{(c)}\,(y-x)=0\,.
Logo f(y)=f(x) para todos x,y, isto é, f é constante em [a,b].

Passo 3

Para o Corolário 2, suponha que f'(x)\ge0 (ou f'(x)\le0) em (a,b). Novamente, para x<y, existe c\in(x,y) com
f(y)-f(x)=f'\text{(c)}\,(y-x)\,.
Se f'\text{(c)}\ge0, então f(y)\ge f(x), mostrando que f é (estritamente) crescente. Analogamente, se f'\text{(c)}\le0, f é (estritamente) decrescente.

Passo 4

Para o Corolário 3, suponha duas funções f e g contínuas em [a,b] e diferenciáveis em (a,b) com f'(x)=g'(x) em (a,b). Defina h(x)=f(x)-g(x). Então h'(x)=f'(x)-g'(x)=0, e pelo Corolário 1 h é constante em [a,b]. Logo existe C tal que
f(x)=g(x)+C\quad\text{para todo }x\in[a,b]\,.

Resposta

Corolário 1. Se f é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e f'(x)=0 em (a,b), então f é constante em [a,b].
Corolário 2. Se f é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e f'(x)\ge0 ( f'(x)\le0) em (a,b), então f é (estritamente) crescente (decrescente) em [a,b].
Corolário 3. Se f e g são contínuas em [a,b], diferenciáveis em (a,b) e f'(x)=g'(x) em (a,b), então existe constante C tal que f(x)=g(x)+C em [a,b].

Exercícios de Livros Relacionados