As áreas de três faces adjacentes de um ortoedro estão entre si como p, q e r. A área total é 2 ell^2. Determine as três dimensões.

Passo 1

O enunciado fala de um ortoedro cujas três faces adjacentes têm áreas proporcionais a p, q e r, e diz que a área total do ortoedro é 2ell^2. O conteúdo aqui é determinação das arestas a, b e c de um paralelepípedo retângulo a partir das áreas de faces. Vamos usar:
  • As áreas das três faces adjacentes são ab, bc e ca.
  • A área total é
2(ab+bc+ca)=2ell^2,

Passo 2

Denotemos
ab = k,p, bc = k,q, ca = k,r
para alguma constante de proporcionalidade k. Assim garantimos que
ab:bc:ca = p:q:r,

Passo 3

Da área total temos
ab+bc+ca = ell^2,
Substituindo as expressões em função de k, obtemos
k(p+q+r)=ell^2 Longrightarrow k = ell^2p+q+r,

Passo 4

Para extrair a, b e c isoladamente usamos relações do tipo
a = raizabcdot acbc, b = raizabcdot bcca, c = raizbccdot caab
Substituindo ab=k,p, bc=k,q, ca=k,r e o valor de k, obtemos
a = raizk,pcdot k,rk,q = raizk,p,rq = ellraizp,rq,(p+q+r),
b = ellraizp,qr,(p+q+r), c = ellraizq,rp,(p+q+r)

Resposta

a = ellraizp,rq,(p+q+r), b = ellraizp,qr,(p+q+r), c = ellraizq,rp,(p+q+r)

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