A soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma é igual a 96r. Calcule a soma dos ângulos internos de uma de suas bases.

Passo 1

O enunciado informa que a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma vale 96r, sendo r a medida de um ângulo reto (isto é, 1r = 90^circ). Precisamos encontrar a soma dos ângulos internos de uma base desse prisma. Para isso, vamos usar duas ideias de geometria de poliedros:
  1. cada face lateral é um quadrilátero (paralelogramo) com soma dos ângulos internos igual a 360^circ;
  2. cada base é um polígono de n lados, cuja soma de ângulos internos é (n-2)cdot180^circ.

Passo 2

Se o prisma tem n lados na base, há n faces laterais, cada uma somando 360^circ, e duas bases, cada uma somando (n-2)cdot180^circ. Logo, a soma total dos ângulos internos de todas as faces é
S = ncdot360^circ + 2cdotl((n-2)cdot180^circr)
Desenvolvendo,
S = 360n + 360(n-2) = 360n + 360n - 720 = 720n - 720

Passo 3

O enunciado diz que essa soma equivale a 96r. Primeiro, convertemos para graus:
96r = 96 times 90^circ = 8640^circ
Em seguida, igualamos ao S que encontramos:
720n - 720 = 8640

Passo 4

Resolvendo para n:
720n = 8640 + 720 = 9360 Longrightarrow n = 9360720 = 13
Portanto, a base é um polígono de 13 lados.

Passo 5

A soma dos ângulos internos de uma base (polígono de n=13 lados) é
(n-2)cdot180^circ = (13-2)cdot180^circ = 11cdot180^circ = 1980^circ
Em unidades de ângulo reto, dividimos por 90^circ:
1980^circ90^circ = 22r

Resposta

A soma dos ângulos internos de uma base é 22r.

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