Até que ponto o segmento de extremos A(4,-2) e B(23,-1) deve ser prolongado no sentido AB para que seu comprimento triplique?

Passo 1

Temos os pontos
A=(4,-2), B=l(tfrac23,-1r)
e queremos prolongar o segmento AB além de B, no mesmo sentido de AB, de modo que o novo comprimento AC seja três vezes o comprimento original AB. Para isso, vamos usar uma parametrização do ponto geral sobre a reta AB e a propriedade de homotetia de centro A.

Passo 2

Definimos um ponto genérico
C(lambda)=A+lambda,(B-A),
onde lambda é um escalar real. Note que para lambda=1 temos C(1)=B. Como o vetor AC(lambda)=lambda,(B-A), o comprimento satisfaz
|AC(lambda)|=|lambda|;|B-A|
Como queremos que |AC|=3,|AB| e estamos prolongando no mesmo sentido, tomamos lambda>1 e impomos
|AC(lambda)|=3,|AB|;Longrightarrow;|lambda|,|B-A|=3,|B-A|;Longrightarrow;lambda=3

Passo 3

Substituindo lambda=3 na parametrização, obtemos
C = A + 3,(B-A)
Vamos calcular B-A e, em seguida, C.

Passo 4

O vetor
B - A = l(tfrac23-4,;-1-(-2)r)=l(-tfrac103,;1r)
Então
C = (4,-2) + 3l(-tfrac103,1r) = l(4 -10,;-2 +3r) = (-6,,1)

Resposta

O ponto até o qual o segmento deve ser prolongado é
C = (-6,,1)

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