(CM Brasilia-2007) Quando colocada na sua forma irredutível, a fração
F=\frac{x-2}{x^{3}-3 x^{2}+3 x-2}
apresenta um denominador Q(x), tal que Q(2) é igual a
A()2.
D()).
B()3.
C() 4.
E()6.

Passo 1

O enunciado nos dá a fração racional
F = \frac{x-2}{x^3 - 3x^2 + 3x - 2}
e pede que, em sua forma irredutível, o denominador Q(x) seja avaliado em x=2. Vamos usar fatoração de polinômios e cancelamento de fatores comuns.

Passo 2

Observamos que
x^3 - 3x^2 + 3x - 2
anula-se em x=2, logo (x-2) é um fator. Dividindo por x-2 (divisão sintética ou longa), obtemos o quociente
x^2 - x + 1.
Assim
x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = (x-2)(x^2 - x + 1).

Passo 3

Substituindo na fração,
F = \frac{x-2}{(x-2)(x^2 - x + 1)} = \frac{1}{x^2 - x + 1}.
Dessa forma, o denominador irredutível é
Q(x) = x^2 - x + 1.

Passo 4

Avaliamo Q(2):
Q(2) = 2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3.

Resposta

3 (alternativa B)

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