6) (CM Brasilia-2008) Sabendo-se que x e y são

reais positivos, a expressão
\frac{\left(x+2 x^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}}+y\right)\left(x-2 x^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}}+y\right)}{x^{2}-y^{2}}
é equivalente a:
a) \frac{x}{y}
b) \frac{x+y}{x-y}
c) \frac{x-y}{x+y}
d) \frac{y-x}{x+y}
e) 1

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\bigl(x+2\,x^{\frac12}y^{\frac12}+y\bigr)\bigl(x-2\,x^{\frac12}y^{\frac12}+y\bigr)}{x^{2}-y^{2}}
sabendo que x e y são reais positivos. O conteúdo envolve produtos notáveis (quadrado da soma/diferença) e fatoração da diferença de quadrados.

Passo 2

Reconhecemos os produtos notáveis:
x + 2\,x^{\frac12}y^{\frac12} + y = \bigl(\sqrt{x} + \sqrt{y}\bigr)^{2},
x - 2\,x^{\frac12}y^{\frac12} + y = \bigl(\sqrt{x} - \sqrt{y}\bigr)^{2}.

Passo 3

O numerador fica
\bigl(\sqrt{x} + \sqrt{y}\bigr)^{2}\,\bigl(\sqrt{x} - \sqrt{y}\bigr)^{2} =\Bigl[\bigl(\sqrt{x} + \sqrt{y}\bigr)\bigl(\sqrt{x} - \sqrt{y}\bigr)\Bigr]^{2} =(x - y)^{2}.

Passo 4

O denominador é diferença de quadrados:
x^{2}-y^{2}=(x-y)\,(x+y).

Passo 5

Dividindo numerador e denominador por (x-y) (válido para x\neq y, e aqui x,y>0 garante a expressão bem definida),
\frac{(x-y)^{2}}{(x-y)(x+y)} = \frac{x-y}{x+y}.

Resposta

(c) \frac{x-y}{x+y}

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