Em cada caso abaixo, determine o valor das cinco funções trigonométricas restantes, usando identidades.
cos (x)=raiz5 / 5

Passo 1

O enunciado dá cos(x)=raiz5/5 e pede as cinco funções trigonométricas restantes. Vamos usar as identidades básicas da trigonometria: a relação pitagórica
sin^2(x)+cos^2(x)=1
e as definições de tan, cot, sec e csc. Assumimos x no primeiro quadrante, pois cos(x)>0 e assim todas as outras funções ficarão positivas.

Passo 2

Usamos
sin^2(x)=1-cos^2(x) =1-l(raiz55r)^2 =1-525 =2025 =l(2raiz55r)^2
Como x está no primeiro quadrante, sin(x)>0. Logo
sin(x)=2raiz55

Passo 3

Agora tan e cot vêm de
tan(x)=sin(x)cos(x) =tfrac2raiz55tfracraiz55 =2,
e
cot(x)=1tan(x) =12

Passo 4

Finalmente sec e csc são recíprocas de cos e sin:
sec(x)=1cos(x) =1tfracraiz55 =5raiz5 =raiz5,
csc(x)=1sin(x) =1tfrac2raiz55 =52raiz5 =raiz52

Resposta

sin(x)=tfrac2raiz55,
tan(x)=2,
cot(x)=tfrac12,
sec(x)=raiz5,
csc(x)=tfracraiz52

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