Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede raiz10 e um ângulo interno alpha é tal que tan (alpha)=3. Determine as medidas dos catetos.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo com hipotenusa raiz10 e um ângulo interno alpha tal que tan(alpha)=3. Vamos usar trigonometria de triângulo retângulo (relação da tangente) e o Teorema de Pitágoras para achar os comprimentos dos catetos.

Passo 2

Em todo triângulo retângulo vale
tan(alpha)=cateto opostocateto adjacente
Como tan(alpha)=3, podemos escrever
cateto oposto=3k, cateto adjacente=k,
onde k>0 é uma constante de escala.

Passo 3

Pelo Teorema de Pitágoras, temos
(3k)^2 + k^2 = (raiz10)^2
Ou seja,
9k^2 + k^2 = 10k^2 = 10 Longrightarrow k^2 = 1 Longrightarrow k=1

Passo 4

Substituindo k=1:
cateto oposto=3cdot1=3, cateto adjacente=1

Resposta

Os catetos medem 3 e 1.

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