Para cada uma das funções generalizadas abaixo, forneça uma fórmula fechada para a seqüência que ela determina.
Questão 7
1 /(1-5 x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função geradora
F(x)=\frac{1}{1-5x}
e pede uma fórmula fechada para a sequência (a_n)_{n\ge0} cujos termos aparecem em
F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n.
Vamos usar o fato de que a soma de uma série geométrica é
\sum_{n=0}^{\infty}r^n=\frac{1}{1-r},
para |r|<1.

Passo 2

No nosso caso, basta identificar r=5x. Então
\frac{1}{1-5x} =\sum_{n=0}^{\infty}(5x)^n =\sum_{n=0}^{\infty}5^n\,x^n.

Passo 3

Comparando termo a termo com \sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n, vemos que
a_n=5^n,\quad n\ge0.

Resposta

\displaystyle a_n = 5^n.

Exercícios de Livros Relacionados