Encontre uma forma fechada para a função generalizada de cada uma das seqüências abaixo. (Para cada seqüência, utilize a escolha mais óbvia de uma seqüência que contenha os termos iniciais listados.)
\binom{7}{0},\binom{7}{1},\binom{7}{2}, \ldots,\binom{7}{7}, 0,0,0,0,0, \ldots

Passo 1

O enunciado pede o termo geral de uma sequência cujos primeiros termos são \binom{7}{0},\binom{7}{1},\binom{7}{2},\dots,\binom{7}{7},0,0,0,\dots.
O conteúdo envolvido é o coeficiente binomial, e queremos uma expressão que dê \binom{7}{n} quando 0\le n\le7 e zero caso contrário.

Passo 2

Para 0\le n\le7 o termo a_n naturalmente vale
a_n=\binom{7}{n}
pois isso reproduz exatamente os valores dados nos índices n=0,1,\dots,7.

Passo 3

Para n>7 queremos que a_n=0. Uma forma elegante de unificar os dois casos é usar a propriedade estendida do coeficiente binomial, segundo a qual
\binom{7}{n}=0 \quad\text{sempre que }n>7.

Resposta

a_n = \binom{7}{n},\quad n=0,1,2,\dots
fazendo uso da convenção de que \binom{7}{n}=0 para n>7.

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