Calcular a área do domínio delimitado pela curva rho=a cos varphi. Resp. pi a^24.

Passo 1

O enunciado pede a área do domínio em coordenadas polares delimitado pela curva
rho = a cosvarphi
Aqui o conteúdo é integração em coordenadas polares, usando a fórmula de área em polares.

Passo 2

Primeiro, identificamos para quais valores de varphi a curva existe (isto é, rho>=0). Como
rho = acosvarphi >= 0 Longrightarrow cosvarphi>=0,
seguimos que
varphiinl[-tfracpi2,,tfracpi2r]

Passo 3

A fórmula da área em coordenadas polares é
A = 12 integralvarphi1^varphi2 l[rho(varphi)r]^2 ,dvarphi
Aqui varphi1=-tfracpi2 e varphi2=+tfracpi2.

Passo 4

Substituindo rho=acosvarphi na fórmula, vem
A = 12 integral-pi/2^pi/2 l(acosvarphir)^2 ,dvarphi = a^22integral-pi/2^pi/2 cos^2varphi ,dvarphi
Usamos a identidade
cos^2varphi = 1+cos2varphi2,
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integral-pi/2^pi/2cos^2varphi,dvarphi = 12integral-pi/2^pi/2!(1+cos2varphi),dvarphi

Passo 5

Calculando a integral,
integral-pi/2^pi/2!(1+cos2varphi),dvarphi = l[varphi + tfrac12sin2varphir]-pi/2^pi/2 = l(tfracpi2-(-tfracpi2)r) + 0 = pi
Então
integral-pi/2^pi/2cos^2varphi,dvarphi = pi2,
e por fim
A = a^22cdotpi2 = pi,a^24

Resposta

A = pi,a^24

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