Determinar a área do domínio delimitado por um arco da curva rho=a sen 2 varphi. Resp. 18 pi a^2.

Passo 1

O enunciado pede a área do laço (ou pétala) da curva em coordenadas polares
rho = a sin(2varphi)
para a>0. O conteúdo necessário é a fórmula da área em coordenadas polares:
A = 12integralvarphi1^varphi2 rho^2,dvarphi

Passo 2

Para ter um laço fechado, precisamos de rho>=0, isto é
sin(2varphi)>=0 Longrightarrow 2varphiin[0,pi] Longrightarrow varphiinl[0,pi2r]
Esse intervalo gera exatamente um arco fechado da curva.

Passo 3

Aplicando a fórmula da área com varphi1=0 e varphi2=tfracpi2,
A = 12integral0^pi/2 l(asin(2varphi)r)^2,dvarphi = a^22integral0^pi/2 sin^2(2varphi),dvarphi

Passo 4

Usamos a identidade sin^2u = tfrac1-cos(2u)2 com u=2varphi:
sin^2(2varphi) = 1-cos(4varphi)2,
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A = a^22integral0^pi/2 1-cos(4varphi)2,dvarphi = a^24integral0^pi/2l(1-cos(4varphi)r),dvarphi

Passo 5

Fazendo a integração:
integral0^pi/21,dvarphi = pi2, integral0^pi/2cos(4varphi),dvarphi = sin(4varphi)4|0^pi/2 =0
Então
A = a^24cdotpi2 = pi a^28

Resposta

18,pi a^2

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