Calcular a área total do domínio delimitado pela cardióide rho=a(1-cos varphi). Resp. 32 pi a^2.

Passo 1

O enunciado pede a área do domínio em coordenadas polares limitado pela cardióide
rho = a,(1 - cosvarphi).
O conteúdo aqui é usar a fórmula de área em polares
A = 12integral0^2pirho^2,dvarphi
e integrar de 0 a 2pi.

Passo 2

Substituímos rho na fórmula de área:
A = 12integral0^2pil[a^2(1-cosvarphi)^2r],dvarphi = a^22integral0^2pi(1 - 2cosvarphi + cos^2varphi),dvarphi

Passo 3

Para integrar, separamos em três partes:
  1. integral0^2pi1,dvarphi = 2pi.
  2. integral0^2picosvarphi,dvarphi = 0.
  3. Usamos cos^2varphi = tfrac1+cos2varphi2, então
integral0^2picos^2varphi,dvarphi = integral0^2pi1+cos2varphi2,dvarphi = 12l[varphi + tfracsin2varphi2r]0^2pi = 12,(2pi) = pi

Passo 4

Juntando os resultados:
A = a^22l(2pi - 2cdot0 + pir) = a^22,(3pi) = 32,pi,a^2

Resposta

boxedA = 32,pi,a^2

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