Determinar a área total da figura delimiada pelas curvas y=x^3, y=2 x, y=x. Resp. 32.

Passo 1

O enunciado pede a área da região delimitada pelas curvas ,y=x^3, ,y=2x e ,y=x. Em geral esse tipo de problema se resolve encontrando os pontos de interseção para descobrir os “laços” fechados, montando integrais para cada trecho e somando as áreas. Aqui vamos ver que existem dois laços, um para x>=0 e outro simétrico para x<=0, e usaremos simetria para agilizar o cálculo.

Passo 2

Primeiro achamos os pontos de interseção resolvendo:
x^3=2xLongrightarrow x(x^2-2)=0Longrightarrow x=0,;pmraiz2,
x^3=xLongrightarrow x(x^2-1)=0Longrightarrow x=0,;pm1,
e
2x=xLongrightarrow x=0
Isso mostra que no ramo positivo temos vértices em (0,0), (1,1) e l(raiz2,2raiz2r), e no ramo negativo vértices em (0,0), (-1,-1) e l(-raiz2,-2raiz2r).

Passo 3

Concentremo-nos no laço para x>=0. Entre x=0 e x=1 a curva inferior é y=x e a superior é y=2x. Entre x=1 e x=raiz2 a inferior passa a ser y=x^3 e a superior continua y=2x. Logo a área do laço positivo é
A+=integral0^1l(2x - xr),dx ;+;integral1^raiz2l(2x - x^3r),dx

Passo 4

Calculando cada integral:
integral0^1(2x - x),dx =integral0^1x,dx =l[tfracx^22r]0^1 =tfrac12,
integral1^raiz2(2x - x^3),dx =l[x^2 - tfracx^44r]1^raiz2 =l(2 - tfrac44r);-;l(1 - tfrac14r) =l(2-1r)-tfrac34 =1-tfrac34 =tfrac14
Portanto
A+=tfrac12 + tfrac14 = tfrac34

Passo 5

Pela simetria ímpar das curvas (todos os vértices negativos são simétricos dos positivos) o laço em x<=0 tem a mesma área A+. Assim a área total é
Atotal=2,A+=2cdottfrac34=tfrac32

Resposta

tfrac32

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