Determinar a área total da figura delimiada pelas curvas
,
. Resp.
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região delimitada pelas curvas
,
e
. Em geral esse tipo de problema se resolve encontrando os pontos de interseção para descobrir os “laços” fechados, montando integrais para cada trecho e somando as áreas. Aqui vamos ver que existem dois laços, um para
e outro simétrico para
, e usaremos simetria para agilizar o cálculo.
Passo 2
Primeiro achamos os pontos de interseção resolvendo:
e
Isso mostra que no ramo positivo temos vértices em
,
e
, e no ramo negativo vértices em
,
e
.
Passo 3
Concentremo-nos no laço para
. Entre
e
a curva inferior é
e a superior é
. Entre
e
a inferior passa a ser
e a superior continua
. Logo a área do laço positivo é
Passo 4
Calculando cada integral:
Portanto
Passo 5
Pela simetria ímpar das curvas (todos os vértices negativos são simétricos dos positivos) o laço em
tem a mesma área
. Assim a área total é