Calcular as seguintes integrais reiteradas:
\int_{0}^{2 \pi} d \varphi \int_{a \operatorname{sen} \varphi}^{a} r d r.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2\pi} \!\!d\varphi \int_{a\sin\varphi}^{a} r\,dr.
O conteúdo aqui é integração iterada: primeiro integramos em r mantendo \varphi fixo e depois integramos o resultado em \varphi.

Passo 2

Calculemos a integral interna em r:
\int_{a\sin\varphi}^{a} r\,dr =\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{r=a\sin\varphi}^{r=a} =\frac{a^{2}}{2}-\frac{a^{2}\sin^{2}\varphi}{2}.

Passo 3

Observe que
\frac{a^{2}}{2}-\frac{a^{2}\sin^{2}\varphi}{2} =\frac{a^{2}}{2}\bigl(1-\sin^{2}\varphi\bigr) =\frac{a^{2}\cos^{2}\varphi}{2}.
Assim a integral total vira
\int_{0}^{2\pi}\frac{a^{2}\cos^{2}\varphi}{2}\,d\varphi =\frac{a^{2}}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,d\varphi.

Passo 4

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,d\varphi usamos a identidade
\cos^{2}\varphi=\frac{1+\cos(2\varphi)}{2}.
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\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,d\varphi =\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2\varphi)}{2}\,d\varphi =\frac{1}{2}\Bigl[\varphi+\tfrac{1}{2}\sin(2\varphi)\Bigr]_{0}^{2\pi} =\frac{1}{2}\cdot2\pi =\pi.

Passo 5

Substituindo de volta,
\frac{a^{2}}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,d\varphi =\frac{a^{2}}{2}\cdot\pi =\frac{\pi\,a^{2}}{2}.

Resposta

\frac{\pi\,a^{2}}{2}.

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